Ecuación diferencial y''-8y+16y=0

Tenemos la ecuación:
$$8 y{\left(x \right)} + \frac{d^{2}}{d x^{2}} y{\left(x \right)} = 0$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:

y'' + p*y' + q*y = 0,

donde
$$p = 0$$
$$q = 8$$
Se llama lineal homogénea
ecuación diferencial de 2 orden con factores constantes.
No hay mucha dificultad en la resolución de esta ecuación
Primero resolvamos la ecuación lineal homogénea correspondiente

y'' + p*y' + q*y = 0

Primero hallemos las raíces de la ecuación característica
$$q + \left(k^{2} + k p\right) = 0$$
En nuestro caso la ecuación característica va a tener la forma:
$$k^{2} + 8 = 0$$
Solución detallada de una ecuación simple
- es una ecuación cuadrática simple
Raíces de esta ecuación:
$$k_{1} = - 2 \sqrt{2} i$$
$$k_{2} = 2 \sqrt{2} i$$
Como la ecuación característica tiene dos raíces,
y las raíces tienen una forma exclusivamente imaginaria, entonces
la solución de la ecuación diferencial correspondiente tiene la forma:
$$y{\left(x \right)} = C_{1} \sin{\left(x \left|{k_{1}}\right| \right)} + C_{2} \cos{\left(x \left|{k_{2}}\right| \right)}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$y{\left(x \right)} = C_{1} \sin{\left(2 \sqrt{2} x \right)} + C_{2} \cos{\left(2 \sqrt{2} x \right)}$$