Sr Examen
Ecuación diferencial 9*y+6*y'-y''=9x^2+21x+17
El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉
⌨
Solución
Ha introducido
[src]
2
d d 2
- ---(y(x)) + 6*--(y(x)) + 9*y(x) = 17 + 9*x + 21*x
2 dx
dx
$$9 y{\left(x \right)} + 6 \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} - \frac{d^{2}}{d x^{2}} y{\left(x \right)} = 9 x^{2} + 21 x + 17$$
9*y + 6*y' - y'' = 9*x^2 + 21*x + 17
Solución detallada
Dividamos las dos partes de la ecuación al factor de la derivada de y'':
$$-1$$
Recibimos la ecuación:
$$- 9 y{\left(x \right)} - 6 \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + \frac{d^{2}}{d x^{2}} y{\left(x \right)} = - 9 x^{2} - 21 x - 17$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
donde
$$p = -6$$
$$q = -9$$
$$s = 9 x^{2} + 21 x + 17$$
Se llama lineal heterogénea
ecuación diferencial de 2 orden con factores constantes.
No hay mucha dificultad en la resolución de esta ecuación
Primero resolvamos la ecuación lineal homogénea correspondiente
Primero hallemos las raíces de la ecuación característica
$$q + \left(k^{2} + k p\right) = 0$$
En nuestro caso la ecuación característica va a tener la forma:
$$k^{2} - 6 k - 9 = 0$$
Solución detallada de una ecuación simple
- es una ecuación cuadrática simple
Raíces de esta ecuación:
$$k_{1} = 3 - 3 \sqrt{2}$$
$$k_{2} = 3 + 3 \sqrt{2}$$
Como la ecuación característica tiene dos raíces,
y las raíces no tienen una forma compleja, entonces
la solución de la ecuación diferencial correspondiente tiene la forma:
$$y{\left(x \right)} = C_{1} e^{k_{1} x} + C_{2} e^{k_{2} x}$$
$$y{\left(x \right)} = C_{1} e^{x \left(3 - 3 \sqrt{2}\right)} + C_{2} e^{x \left(3 + 3 \sqrt{2}\right)}$$
Hemos encontrado la solución de la ecuación homogénea correspondiente
Ahora hay que resolver nuestra ecuación heterogénea
Usamos el método de variación de la constante arbitraria
Consideremos que C1 y C2 son funciones de x
Y la solución general será:
$$y{\left(x \right)} = \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} e^{x \left(3 - 3 \sqrt{2}\right)} + \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} e^{x \left(3 + 3 \sqrt{2}\right)}$$
donde C1(x) y C2(x)
según el método de variación de constantes hallemos del sistema:
$$\operatorname{y_{1}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} + \operatorname{y_{2}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = 0$$
$$\frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{y_{1}}{\left(x \right)} + \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{y_{2}}{\left(x \right)} = f{\left(x \right)}$$
donde
y1(x) y y2(x) son soluciones parciales linealmente independientes de la ecuación diferencial lineal homogénea,
y1(x) = exp(x*(3 - 3*sqrt(2))) (C1=1, C2=0),
y2(x) = exp(x*(3 + 3*sqrt(2))) (C1=0, C2=1).
A es un término independiente f = - s, o
$$f{\left(x \right)} = - 9 x^{2} - 21 x - 17$$
Es decir, el sistema tendrá la forma:
$$e^{x \left(3 - 3 \sqrt{2}\right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} + e^{x \left(3 + 3 \sqrt{2}\right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = 0$$
$$\frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} e^{x \left(3 - 3 \sqrt{2}\right)} + \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} e^{x \left(3 + 3 \sqrt{2}\right)} = - 9 x^{2} - 21 x - 17$$
o
$$e^{x \left(3 - 3 \sqrt{2}\right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} + e^{x \left(3 + 3 \sqrt{2}\right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = 0$$
$$\left(3 - 3 \sqrt{2}\right) e^{x \left(3 - 3 \sqrt{2}\right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} + \left(3 + 3 \sqrt{2}\right) e^{x \left(3 + 3 \sqrt{2}\right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = - 9 x^{2} - 21 x - 17$$
Resolvamos este sistema:
$$\frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} = \frac{\sqrt{2} \left(9 x^{2} + 21 x + 17\right) e^{3 x \left(-1 + \sqrt{2}\right)}}{12}$$
$$\frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = - \frac{\sqrt{2} \left(9 x^{2} + 21 x + 17\right) e^{- 3 x \left(1 + \sqrt{2}\right)}}{12}$$
- son ecuaciones diferenciales simples, resolvámoslas
$$\operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} = C_{3} + \int \frac{\sqrt{2} \left(9 x^{2} + 21 x + 17\right) e^{3 x \left(-1 + \sqrt{2}\right)}}{12}\, dx$$
$$\operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = C_{4} + \int \left(- \frac{\sqrt{2} \left(9 x^{2} + 21 x + 17\right) e^{- 3 x \left(1 + \sqrt{2}\right)}}{12}\right)\, dx$$
o
$$\operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} = C_{3} + \frac{\left(- 8856 \sqrt{2} x^{2} + 12528 x^{2} - 23112 \sqrt{2} x + 32688 x - 19920 \sqrt{2} + 28176\right) e^{3 x \left(-1 + \sqrt{2}\right)}}{85536 - 60480 \sqrt{2}}$$
$$\operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = C_{4} + \frac{\left(8856 \sqrt{2} x^{2} + 12528 x^{2} + 23112 \sqrt{2} x + 32688 x + 19920 \sqrt{2} + 28176\right) e^{- 3 x \left(1 + \sqrt{2}\right)}}{60480 \sqrt{2} + 85536}$$
Sustituyamos C1(x) y C2(x) hallados en
$$y{\left(x \right)} = \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} e^{x \left(3 - 3 \sqrt{2}\right)} + \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} e^{x \left(3 + 3 \sqrt{2}\right)}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$y{\left(x \right)} = C_{3} e^{3 x} e^{- 3 \sqrt{2} x} + C_{4} e^{3 x} e^{3 \sqrt{2} x} - \frac{8856 \sqrt{2} x^{2}}{85536 - 60480 \sqrt{2}} + \frac{8856 \sqrt{2} x^{2}}{60480 \sqrt{2} + 85536} + \frac{12528 x^{2}}{60480 \sqrt{2} + 85536} + \frac{12528 x^{2}}{85536 - 60480 \sqrt{2}} - \frac{23112 \sqrt{2} x}{85536 - 60480 \sqrt{2}} + \frac{23112 \sqrt{2} x}{60480 \sqrt{2} + 85536} + \frac{32688 x}{60480 \sqrt{2} + 85536} + \frac{32688 x}{85536 - 60480 \sqrt{2}} - \frac{19920 \sqrt{2}}{85536 - 60480 \sqrt{2}} + \frac{19920 \sqrt{2}}{60480 \sqrt{2} + 85536} + \frac{28176}{60480 \sqrt{2} + 85536} + \frac{28176}{85536 - 60480 \sqrt{2}}$$
donde C3 y C4 hay son constantes
$$-1$$
Recibimos la ecuación:
$$- 9 y{\left(x \right)} - 6 \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + \frac{d^{2}}{d x^{2}} y{\left(x \right)} = - 9 x^{2} - 21 x - 17$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
y'' + p*y' + q*y = s,
donde
$$p = -6$$
$$q = -9$$
$$s = 9 x^{2} + 21 x + 17$$
Se llama lineal heterogénea
ecuación diferencial de 2 orden con factores constantes.
No hay mucha dificultad en la resolución de esta ecuación
Primero resolvamos la ecuación lineal homogénea correspondiente
y'' + p*y' + q*y = 0
Primero hallemos las raíces de la ecuación característica
$$q + \left(k^{2} + k p\right) = 0$$
En nuestro caso la ecuación característica va a tener la forma:
$$k^{2} - 6 k - 9 = 0$$
Solución detallada de una ecuación simple
- es una ecuación cuadrática simple
Raíces de esta ecuación:
$$k_{1} = 3 - 3 \sqrt{2}$$
$$k_{2} = 3 + 3 \sqrt{2}$$
Como la ecuación característica tiene dos raíces,
y las raíces no tienen una forma compleja, entonces
la solución de la ecuación diferencial correspondiente tiene la forma:
$$y{\left(x \right)} = C_{1} e^{k_{1} x} + C_{2} e^{k_{2} x}$$
$$y{\left(x \right)} = C_{1} e^{x \left(3 - 3 \sqrt{2}\right)} + C_{2} e^{x \left(3 + 3 \sqrt{2}\right)}$$
Hemos encontrado la solución de la ecuación homogénea correspondiente
Ahora hay que resolver nuestra ecuación heterogénea
y'' + p*y' + q*y = s
Usamos el método de variación de la constante arbitraria
Consideremos que C1 y C2 son funciones de x
Y la solución general será:
$$y{\left(x \right)} = \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} e^{x \left(3 - 3 \sqrt{2}\right)} + \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} e^{x \left(3 + 3 \sqrt{2}\right)}$$
donde C1(x) y C2(x)
según el método de variación de constantes hallemos del sistema:
$$\operatorname{y_{1}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} + \operatorname{y_{2}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = 0$$
$$\frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{y_{1}}{\left(x \right)} + \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{y_{2}}{\left(x \right)} = f{\left(x \right)}$$
donde
y1(x) y y2(x) son soluciones parciales linealmente independientes de la ecuación diferencial lineal homogénea,
y1(x) = exp(x*(3 - 3*sqrt(2))) (C1=1, C2=0),
y2(x) = exp(x*(3 + 3*sqrt(2))) (C1=0, C2=1).
A es un término independiente f = - s, o
$$f{\left(x \right)} = - 9 x^{2} - 21 x - 17$$
Es decir, el sistema tendrá la forma:
$$e^{x \left(3 - 3 \sqrt{2}\right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} + e^{x \left(3 + 3 \sqrt{2}\right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = 0$$
$$\frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} e^{x \left(3 - 3 \sqrt{2}\right)} + \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} e^{x \left(3 + 3 \sqrt{2}\right)} = - 9 x^{2} - 21 x - 17$$
o
$$e^{x \left(3 - 3 \sqrt{2}\right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} + e^{x \left(3 + 3 \sqrt{2}\right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = 0$$
$$\left(3 - 3 \sqrt{2}\right) e^{x \left(3 - 3 \sqrt{2}\right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} + \left(3 + 3 \sqrt{2}\right) e^{x \left(3 + 3 \sqrt{2}\right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = - 9 x^{2} - 21 x - 17$$
Resolvamos este sistema:
$$\frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} = \frac{\sqrt{2} \left(9 x^{2} + 21 x + 17\right) e^{3 x \left(-1 + \sqrt{2}\right)}}{12}$$
$$\frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = - \frac{\sqrt{2} \left(9 x^{2} + 21 x + 17\right) e^{- 3 x \left(1 + \sqrt{2}\right)}}{12}$$
- son ecuaciones diferenciales simples, resolvámoslas
$$\operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} = C_{3} + \int \frac{\sqrt{2} \left(9 x^{2} + 21 x + 17\right) e^{3 x \left(-1 + \sqrt{2}\right)}}{12}\, dx$$
$$\operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = C_{4} + \int \left(- \frac{\sqrt{2} \left(9 x^{2} + 21 x + 17\right) e^{- 3 x \left(1 + \sqrt{2}\right)}}{12}\right)\, dx$$
o
$$\operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} = C_{3} + \frac{\left(- 8856 \sqrt{2} x^{2} + 12528 x^{2} - 23112 \sqrt{2} x + 32688 x - 19920 \sqrt{2} + 28176\right) e^{3 x \left(-1 + \sqrt{2}\right)}}{85536 - 60480 \sqrt{2}}$$
$$\operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = C_{4} + \frac{\left(8856 \sqrt{2} x^{2} + 12528 x^{2} + 23112 \sqrt{2} x + 32688 x + 19920 \sqrt{2} + 28176\right) e^{- 3 x \left(1 + \sqrt{2}\right)}}{60480 \sqrt{2} + 85536}$$
Sustituyamos C1(x) y C2(x) hallados en
$$y{\left(x \right)} = \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} e^{x \left(3 - 3 \sqrt{2}\right)} + \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} e^{x \left(3 + 3 \sqrt{2}\right)}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$y{\left(x \right)} = C_{3} e^{3 x} e^{- 3 \sqrt{2} x} + C_{4} e^{3 x} e^{3 \sqrt{2} x} - \frac{8856 \sqrt{2} x^{2}}{85536 - 60480 \sqrt{2}} + \frac{8856 \sqrt{2} x^{2}}{60480 \sqrt{2} + 85536} + \frac{12528 x^{2}}{60480 \sqrt{2} + 85536} + \frac{12528 x^{2}}{85536 - 60480 \sqrt{2}} - \frac{23112 \sqrt{2} x}{85536 - 60480 \sqrt{2}} + \frac{23112 \sqrt{2} x}{60480 \sqrt{2} + 85536} + \frac{32688 x}{60480 \sqrt{2} + 85536} + \frac{32688 x}{85536 - 60480 \sqrt{2}} - \frac{19920 \sqrt{2}}{85536 - 60480 \sqrt{2}} + \frac{19920 \sqrt{2}}{60480 \sqrt{2} + 85536} + \frac{28176}{60480 \sqrt{2} + 85536} + \frac{28176}{85536 - 60480 \sqrt{2}}$$
donde C3 y C4 hay son constantes
Respuesta
[src]
/ ___\ / ___\
13 2 3*x*\1 - \/ 2 / 3*x*\1 + \/ 2 /
y(x) = -- + x + x + C1*e + C2*e
9
$$y{\left(x \right)} = C_{1} e^{3 x \left(1 - \sqrt{2}\right)} + C_{2} e^{3 x \left(1 + \sqrt{2}\right)} + x^{2} + x + \frac{13}{9}$$
Clasificación
nth linear constant coeff undetermined coefficients
nth linear constant coeff variation of parameters
nth linear constant coeff variation of parameters Integral