Tenemos la ecuación:
$$x \left(\log{\left(\frac{y{\left(x \right)}}{x} \right)} + 4\right) \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} - \left(\log{\left(\frac{y{\left(x \right)}}{x} \right)} + 5\right) y{\left(x \right)} = 0$$
Sustituimos
$$u{\left(x \right)} = \frac{y{\left(x \right)}}{x}$$
y porque
$$y{\left(x \right)} = x u{\left(x \right)}$$
entonces
$$\frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = x \frac{d}{d x} u{\left(x \right)} + u{\left(x \right)}$$
sustituimos
$$- x u{\left(x \right)} \log{\left(u{\left(x \right)} \right)} - 5 x u{\left(x \right)} + x \log{\left(u{\left(x \right)} \right)} \frac{d}{d x} x u{\left(x \right)} + 4 x \frac{d}{d x} x u{\left(x \right)} = 0$$
o
$$x^{2} \log{\left(u{\left(x \right)} \right)} \frac{d}{d x} u{\left(x \right)} + 4 x^{2} \frac{d}{d x} u{\left(x \right)} - x u{\left(x \right)} = 0$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
f1(x)*g1(u)*u' = f2(x)*g2(u),
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(u \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = - \frac{1}{x}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(u \right)} = - \frac{u{\left(x \right)}}{\log{\left(u{\left(x \right)} \right)} + 4}$$
Pasemos la ecuación a la forma:
g1(u)/g2(u)*u'= f2(x)/f1(x).
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(u)
$$- \frac{u{\left(x \right)}}{\log{\left(u{\left(x \right)} \right)} + 4}$$
obtendremos
$$- \frac{\left(\log{\left(u{\left(x \right)} \right)} + 4\right) \frac{d}{d x} u{\left(x \right)}}{u{\left(x \right)}} = - \frac{1}{x}$$
Con esto hemos separado las variables x y u.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$- \frac{dx \left(\log{\left(u{\left(x \right)} \right)} + 4\right) \frac{d}{d x} u{\left(x \right)}}{u{\left(x \right)}} = - \frac{dx}{x}$$
o
$$- \frac{du \left(\log{\left(u{\left(x \right)} \right)} + 4\right)}{u{\left(x \right)}} = - \frac{dx}{x}$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por u,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \left(- \frac{\log{\left(u \right)} + 4}{u}\right)\, du = \int \left(- \frac{1}{x}\right)\, dx$$
Solución detallada de la integral con uSolución detallada de la integral con xTomemos estas integrales
$$- \frac{\log{\left(u \right)}^{2}}{2} - 4 \log{\left(u \right)} = Const - \log{\left(x \right)}$$
Solución detallada de una ecuación simpleHemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica u.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{u_{1}} = u{\left(x \right)} = e^{- \sqrt{2} \sqrt{C_{1} + \log{\left(x \right)}} - 4}$$
$$\operatorname{u_{2}} = u{\left(x \right)} = e^{\sqrt{2} \sqrt{C_{1} + \log{\left(x \right)}} - 4}$$
hacemos cambio inverso
$$y{\left(x \right)} = x u{\left(x \right)}$$
$$y1 = y(x) = x e^{- \sqrt{2} \sqrt{C_{1} + \log{\left(x \right)}} - 4}$$
$$y2 = y(x) = x e^{\sqrt{2} \sqrt{C_{1} + \log{\left(x \right)}} - 4}$$