Sr Examen
Ecuación diferencial y'+y'ln^2(y)=(x+2ln(y))y'
El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉
⌨
Solución
Ha introducido
[src]
2 d d d
log (y(x))*--(y(x)) + --(y(x)) = (x + 2*log(y(x)))*--(y(x))
dx dx dx
$$\log{\left(y{\left(x \right)} \right)}^{2} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = \left(x + 2 \log{\left(y{\left(x \right)} \right)}\right) \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}$$
log(y)^2*y' + y' = (x + 2*log(y))*y'
Solución detallada
Tenemos la ecuación:
$$- \left(x + 2 \log{\left(y{\left(x \right)} \right)}\right) \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + \log{\left(y{\left(x \right)} \right)}^{2} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = 0$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = 0$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = 0$$
En esta ecuación las variables x y y ya están separadas.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$dx \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = 0$$
o
$$dy = 0$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int 1\, dy = \int 0\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$y = Const$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = C_{1}$$
$$\operatorname{y_{2}} = y{\left(x \right)} = e^{1 - \sqrt{x}}$$
$$\operatorname{y_{3}} = y{\left(x \right)} = e^{\sqrt{x} + 1}$$
$$- \left(x + 2 \log{\left(y{\left(x \right)} \right)}\right) \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + \log{\left(y{\left(x \right)} \right)}^{2} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = 0$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
f1(x)*g1(y)*y' = f2(x)*g2(y),
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = 0$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = 0$$
En esta ecuación las variables x y y ya están separadas.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$dx \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = 0$$
o
$$dy = 0$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int 1\, dy = \int 0\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$y = Const$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = C_{1}$$
$$\operatorname{y_{2}} = y{\left(x \right)} = e^{1 - \sqrt{x}}$$
$$\operatorname{y_{3}} = y{\left(x \right)} = e^{\sqrt{x} + 1}$$
Respuesta
[src]
y(x) = C1
$$y{\left(x \right)} = C_{1}$$
___
1 - \/ x
y(x) = e
$$y{\left(x \right)} = e^{1 - \sqrt{x}}$$
___
1 + \/ x
y(x) = e
$$y{\left(x \right)} = e^{\sqrt{x} + 1}$$
Gráfico para el problema de Cauchy
Clasificación
factorable
nth algebraic
1st linear
Bernoulli
1st power series
lie group
nth algebraic Integral
1st linear Integral
Bernoulli Integral
Respuesta numérica
[src]
(x, y):
(-10.0, 0.75)
(-7.777777777777778, 0.75)
(-5.555555555555555, 0.75)
(-3.333333333333333, 0.75)
(-1.1111111111111107, 0.75)
(1.1111111111111107, 0.75)
(3.333333333333334, 0.75)
(5.555555555555557, 0.75)
(7.777777777777779, 0.75)
(10.0, 0.75)
(10.0, 0.75)