Sr Examen
Ecuación diferencial 1+(y')^1=2yy"
El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉
⌨
Solución
Ha introducido
[src]
2
d d
1 + --(y(x)) = 2*---(y(x))*y(x)
dx 2
dx
$$\frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + 1 = 2 y{\left(x \right)} \frac{d^{2}}{d x^{2}} y{\left(x \right)}$$
y' + 1 = 2*y*y''
Solución detallada
Tenemos la ecuación:
$$2 y{\left(x \right)} \frac{d^{2}}{d x^{2}} y{\left(x \right)} = \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + 1$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y' \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = - \frac{1}{y{\left(x \right)}}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y' \right)} = - \frac{\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{2} - \frac{1}{2}$$
Pasemos la ecuación a la forma:
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y')
$$- \frac{\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{2} - \frac{1}{2}$$
obtendremos
$$- \frac{2 \frac{d^{2}}{d x^{2}} y{\left(x \right)}}{\frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + 1} = - \frac{1}{y{\left(x \right)}}$$
Con esto hemos separado las variables x y y'.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$- \frac{2 dx \frac{d^{2}}{d x^{2}} y{\left(x \right)}}{\frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + 1} = - \frac{dx}{y{\left(x \right)}}$$
o
$$- \frac{2 dy'}{\frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + 1} = - \frac{dx}{y{\left(x \right)}}$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y',
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \left(- \frac{2}{y' + 1}\right)\, dy' = \int \left(- \frac{1}{y{\left(x \right)}}\right)\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$- 2 \log{\left(y' + 1 \right)} = Const - \int \frac{1}{y{\left(x \right)}}\, dx$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y'.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{y'1} = \operatorname{y'}{\left(x \right)} = C_{1} e^{\frac{\int \frac{1}{y{\left(x \right)}}\, dx}{2}} - 1$$
tomemos estas integrales
$$\operatorname{y_{1}} = \int \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}\, dx = \int \left(C_{1} e^{\frac{\int \frac{1}{y{\left(x \right)}}\, dx}{2}} - 1\right)\, dx$$ =
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = C_{2} + \int \left(C_{1} e^{\frac{\int \frac{1}{y{\left(x \right)}}\, dx}{2}} - 1\right)\, dx$$
$$2 y{\left(x \right)} \frac{d^{2}}{d x^{2}} y{\left(x \right)} = \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + 1$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
f1(x)*g1(y')*y'' = f2(x)*g2(y'),
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y' \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = - \frac{1}{y{\left(x \right)}}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y' \right)} = - \frac{\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{2} - \frac{1}{2}$$
Pasemos la ecuación a la forma:
g1(y')/g2(y')*y''= f2(x)/f1(x).
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y')
$$- \frac{\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{2} - \frac{1}{2}$$
obtendremos
$$- \frac{2 \frac{d^{2}}{d x^{2}} y{\left(x \right)}}{\frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + 1} = - \frac{1}{y{\left(x \right)}}$$
Con esto hemos separado las variables x y y'.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$- \frac{2 dx \frac{d^{2}}{d x^{2}} y{\left(x \right)}}{\frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + 1} = - \frac{dx}{y{\left(x \right)}}$$
o
$$- \frac{2 dy'}{\frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + 1} = - \frac{dx}{y{\left(x \right)}}$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y',
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \left(- \frac{2}{y' + 1}\right)\, dy' = \int \left(- \frac{1}{y{\left(x \right)}}\right)\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$- 2 \log{\left(y' + 1 \right)} = Const - \int \frac{1}{y{\left(x \right)}}\, dx$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y'.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{y'1} = \operatorname{y'}{\left(x \right)} = C_{1} e^{\frac{\int \frac{1}{y{\left(x \right)}}\, dx}{2}} - 1$$
tomemos estas integrales
$$\operatorname{y_{1}} = \int \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}\, dx = \int \left(C_{1} e^{\frac{\int \frac{1}{y{\left(x \right)}}\, dx}{2}} - 1\right)\, dx$$ =
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = C_{2} + \int \left(C_{1} e^{\frac{\int \frac{1}{y{\left(x \right)}}\, dx}{2}} - 1\right)\, dx$$