Sr Examen
Ecuación diferencial ydx+((xy)^1/2-(x)^1/2)dy=0
El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉
⌨
Solución
Ha introducido
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________ d ___ d
\/ x*y(x) *--(y(x)) - \/ x *--(y(x)) + y(x) = 0
dx dx
$$- \sqrt{x} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + \sqrt{x y{\left(x \right)}} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + y{\left(x \right)} = 0$$
-sqrt(x)*y' + sqrt(x*y)*y' + y = 0
Solución detallada
Tenemos la ecuación:
$$\sqrt{x} \sqrt{y{\left(x \right)}} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} - \sqrt{x} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + y{\left(x \right)} = 0$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = - \frac{1}{\sqrt{x}}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = \frac{y{\left(x \right)}}{\sqrt{y{\left(x \right)}} - 1}$$
Pasemos la ecuación a la forma:
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y)
$$\frac{y{\left(x \right)}}{\sqrt{y{\left(x \right)}} - 1}$$
obtendremos
$$\frac{\left(\sqrt{y{\left(x \right)}} - 1\right) \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{y{\left(x \right)}} = - \frac{1}{\sqrt{x}}$$
Con esto hemos separado las variables x y y.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$\frac{dx \left(\sqrt{y{\left(x \right)}} - 1\right) \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{y{\left(x \right)}} = - \frac{dx}{\sqrt{x}}$$
o
$$\frac{dy \left(\sqrt{y{\left(x \right)}} - 1\right)}{y{\left(x \right)}} = - \frac{dx}{\sqrt{x}}$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \frac{\sqrt{y} - 1}{y}\, dy = \int \left(- \frac{1}{\sqrt{x}}\right)\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$2 \sqrt{y} - \log{\left(y \right)} = Const - 2 \sqrt{x}$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{y_{1}} = 2 \sqrt{x} + 2 \sqrt{y{\left(x \right)}} - \log{\left(y{\left(x \right)} \right)} = C_{1}$$
$$\sqrt{x} \sqrt{y{\left(x \right)}} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} - \sqrt{x} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + y{\left(x \right)} = 0$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
f1(x)*g1(y)*y' = f2(x)*g2(y),
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = - \frac{1}{\sqrt{x}}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = \frac{y{\left(x \right)}}{\sqrt{y{\left(x \right)}} - 1}$$
Pasemos la ecuación a la forma:
g1(y)/g2(y)*y'= f2(x)/f1(x).
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y)
$$\frac{y{\left(x \right)}}{\sqrt{y{\left(x \right)}} - 1}$$
obtendremos
$$\frac{\left(\sqrt{y{\left(x \right)}} - 1\right) \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{y{\left(x \right)}} = - \frac{1}{\sqrt{x}}$$
Con esto hemos separado las variables x y y.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$\frac{dx \left(\sqrt{y{\left(x \right)}} - 1\right) \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{y{\left(x \right)}} = - \frac{dx}{\sqrt{x}}$$
o
$$\frac{dy \left(\sqrt{y{\left(x \right)}} - 1\right)}{y{\left(x \right)}} = - \frac{dx}{\sqrt{x}}$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \frac{\sqrt{y} - 1}{y}\, dy = \int \left(- \frac{1}{\sqrt{x}}\right)\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$2 \sqrt{y} - \log{\left(y \right)} = Const - 2 \sqrt{x}$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{y_{1}} = 2 \sqrt{x} + 2 \sqrt{y{\left(x \right)}} - \log{\left(y{\left(x \right)} \right)} = C_{1}$$
Clasificación
factorable
lie group