Ecuación diferencial y''+2y+10=78*cos(2t)

Tenemos la ecuación:
$$2 y{\left(t \right)} + \frac{d^{2}}{d t^{2}} y{\left(t \right)} + 10 = 78 \cos{\left(2 t \right)}$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:

y'' + p*y' + q*y = s,

donde
$$p = 0$$
$$q = 2$$
$$s = 10 - 78 \cos{\left(2 t \right)}$$
Se llama lineal heterogénea
ecuación diferencial de 2 orden con factores constantes.
No hay mucha dificultad en la resolución de esta ecuación
Primero resolvamos la ecuación lineal homogénea correspondiente

y'' + p*y' + q*y = 0

Primero hallemos las raíces de la ecuación característica
$$q + \left(k^{2} + k p\right) = 0$$
En nuestro caso la ecuación característica va a tener la forma:
$$k^{2} + 2 = 0$$
Solución detallada de una ecuación simple
- es una ecuación cuadrática simple
Raíces de esta ecuación:
$$k_{1} = - \sqrt{2} i$$
$$k_{2} = \sqrt{2} i$$
Como la ecuación característica tiene dos raíces,
y las raíces tienen una forma exclusivamente imaginaria, entonces
la solución de la ecuación diferencial correspondiente tiene la forma:
$$y{\left(t \right)} = C_{1} \sin{\left(t \left|{k_{1}}\right| \right)} + C_{2} \cos{\left(t \left|{k_{2}}\right| \right)}$$
$$y{\left(t \right)} = C_{1} \sin{\left(\sqrt{2} t \right)} + C_{2} \cos{\left(\sqrt{2} t \right)}$$

Hemos encontrado la solución de la ecuación homogénea correspondiente
Ahora hay que resolver nuestra ecuación heterogénea

y'' + p*y' + q*y = s

Usamos el método de variación de la constante arbitraria
Consideremos que C1 y C2 son funciones de x

Y la solución general será:
$$y{\left(t \right)} = \operatorname{C_{1}}{\left(t \right)} \sin{\left(\sqrt{2} t \right)} + \operatorname{C_{2}}{\left(t \right)} \cos{\left(\sqrt{2} t \right)}$$
donde C1(t) y C2(t)
según el método de variación de constantes hallemos del sistema:
$$\operatorname{y_{1}}{\left(t \right)} \frac{d}{d t} \operatorname{C_{1}}{\left(t \right)} + \operatorname{y_{2}}{\left(t \right)} \frac{d}{d t} \operatorname{C_{2}}{\left(t \right)} = 0$$
$$\frac{d}{d t} \operatorname{C_{1}}{\left(t \right)} \frac{d}{d t} \operatorname{y_{1}}{\left(t \right)} + \frac{d}{d t} \operatorname{C_{2}}{\left(t \right)} \frac{d}{d t} \operatorname{y_{2}}{\left(t \right)} = f{\left(t \right)}$$
donde
y1(t) y y2(t) son soluciones parciales linealmente independientes de la ecuación diferencial lineal homogénea,
y1(t) = sin(sqrt(2)*t) (C1=1, C2=0),
y2(t) = cos(sqrt(2)*t) (C1=0, C2=1).
A es un término independiente f = - s, o
$$f{\left(t \right)} = 78 \cos{\left(2 t \right)} - 10$$
Es decir, el sistema tendrá la forma:
$$\sin{\left(\sqrt{2} t \right)} \frac{d}{d t} \operatorname{C_{1}}{\left(t \right)} + \cos{\left(\sqrt{2} t \right)} \frac{d}{d t} \operatorname{C_{2}}{\left(t \right)} = 0$$
$$\frac{d}{d t} \operatorname{C_{1}}{\left(t \right)} \frac{d}{d t} \sin{\left(\sqrt{2} t \right)} + \frac{d}{d t} \operatorname{C_{2}}{\left(t \right)} \frac{d}{d t} \cos{\left(\sqrt{2} t \right)} = 78 \cos{\left(2 t \right)} - 10$$
o
$$\sin{\left(\sqrt{2} t \right)} \frac{d}{d t} \operatorname{C_{1}}{\left(t \right)} + \cos{\left(\sqrt{2} t \right)} \frac{d}{d t} \operatorname{C_{2}}{\left(t \right)} = 0$$
$$- \sqrt{2} \sin{\left(\sqrt{2} t \right)} \frac{d}{d t} \operatorname{C_{2}}{\left(t \right)} + \sqrt{2} \cos{\left(\sqrt{2} t \right)} \frac{d}{d t} \operatorname{C_{1}}{\left(t \right)} = 78 \cos{\left(2 t \right)} - 10$$
Resolvamos este sistema:
$$\frac{d}{d t} \operatorname{C_{1}}{\left(t \right)} = \sqrt{2} \left(39 \cos{\left(2 t \right)} - 5\right) \cos{\left(\sqrt{2} t \right)}$$
$$\frac{d}{d t} \operatorname{C_{2}}{\left(t \right)} = - \sqrt{2} \left(39 \cos{\left(2 t \right)} - 5\right) \sin{\left(\sqrt{2} t \right)}$$
- son ecuaciones diferenciales simples, resolvámoslas
$$\operatorname{C_{1}}{\left(t \right)} = C_{3} + \int \sqrt{2} \left(39 \cos{\left(2 t \right)} - 5\right) \cos{\left(\sqrt{2} t \right)}\, dt$$
$$\operatorname{C_{2}}{\left(t \right)} = C_{4} + \int \left(- \sqrt{2} \left(39 \cos{\left(2 t \right)} - 5\right) \sin{\left(\sqrt{2} t \right)}\right)\, dt$$
o
$$\operatorname{C_{1}}{\left(t \right)} = C_{3} + \sqrt{2} \left(39 \sin{\left(2 t \right)} \cos{\left(\sqrt{2} t \right)} - \frac{39 \sqrt{2} \sin{\left(\sqrt{2} t \right)} \cos{\left(2 t \right)}}{2} - \frac{5 \sqrt{2} \sin{\left(\sqrt{2} t \right)}}{2}\right)$$
$$\operatorname{C_{2}}{\left(t \right)} = C_{4} - \sqrt{2} \left(39 \sin{\left(2 t \right)} \sin{\left(\sqrt{2} t \right)} + \frac{39 \sqrt{2} \cos{\left(2 t \right)} \cos{\left(\sqrt{2} t \right)}}{2} + \frac{5 \sqrt{2} \cos{\left(\sqrt{2} t \right)}}{2}\right)$$
Sustituyamos C1(t) y C2(t) hallados en
$$y{\left(t \right)} = \operatorname{C_{1}}{\left(t \right)} \sin{\left(\sqrt{2} t \right)} + \operatorname{C_{2}}{\left(t \right)} \cos{\left(\sqrt{2} t \right)}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$y{\left(t \right)} = C_{3} \sin{\left(\sqrt{2} t \right)} + C_{4} \cos{\left(\sqrt{2} t \right)} - 39 \sin^{2}{\left(\sqrt{2} t \right)} \cos{\left(2 t \right)} - 5 \sin^{2}{\left(\sqrt{2} t \right)} - 39 \cos{\left(2 t \right)} \cos^{2}{\left(\sqrt{2} t \right)} - 5 \cos^{2}{\left(\sqrt{2} t \right)}$$
donde C3 y C4 hay son constantes