Ecuación diferencial (y-2x)y'=3y-6x+1

Tenemos la ecuación:
$$6 x + \left(- 2 x + y{\left(x \right)}\right) \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} - 3 y{\left(x \right)} - 1 = 0$$
Sustituimos
$$u{\left(x \right)} = - 2 x + y{\left(x \right)}$$
y porque
$$\frac{d}{d x} y{\left(x \right)} - 2 = \frac{d}{d x} u{\left(x \right)}$$
entonces
$$\frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = \frac{d}{d x} u{\left(x \right)} + 2$$
sustituimos
$$- 2 x \frac{d}{d x} \left(2 x + u{\left(x \right)}\right) + \left(2 x + u{\left(x \right)}\right) \frac{d}{d x} \left(2 x + u{\left(x \right)}\right) - 3 u{\left(x \right)} - 1 = 0$$
o
$$u{\left(x \right)} \frac{d}{d x} u{\left(x \right)} - u{\left(x \right)} - 1 = 0$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:

f1(x)*g1(u)*u' = f2(x)*g2(u),

donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(u \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(u \right)} = \frac{u{\left(x \right)} + 1}{u{\left(x \right)}}$$
Pasemos la ecuación a la forma:

g1(u)/g2(u)*u'= f2(x)/f1(x).

Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(u)
$$\frac{u{\left(x \right)} + 1}{u{\left(x \right)}}$$
obtendremos
$$\frac{u{\left(x \right)} \frac{d}{d x} u{\left(x \right)}}{u{\left(x \right)} + 1} = 1$$
Con esto hemos separado las variables x y u.

Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$\frac{dx u{\left(x \right)} \frac{d}{d x} u{\left(x \right)}}{u{\left(x \right)} + 1} = dx$$
o
$$\frac{du u{\left(x \right)}}{u{\left(x \right)} + 1} = dx$$

Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por u,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \frac{u}{u + 1}\, du = \int 1\, dx$$
Solución detallada de la integral con u
Solución detallada de la integral con x
Tomemos estas integrales
$$u - \log{\left(u + 1 \right)} = Const + x$$
Solución detallada de una ecuación simple
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica u.
(Const - es una constante)

La solución:
$$\operatorname{u_{1}} = u{\left(x \right)} = - W\left(C_{1} e^{- x - 1}\right) - 1$$
hacemos cambio inverso
$$y{\left(x \right)} = 2 x + u{\left(x \right)}$$
$$y1 = y(x) = 2 x - W\left(C_{1} e^{- x - 1}\right) - 1$$