Sr Examen
Ecuación diferencial y''-2y'-y=(e^(3x)+e^(-3x))/2
El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉
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Solución
Ha introducido
[src]
2 -3*x 3*x
d d e e
-y(x) - 2*--(y(x)) + ---(y(x)) = ----- + ----
dx 2 2 2
dx
$$- y{\left(x \right)} - 2 \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + \frac{d^{2}}{d x^{2}} y{\left(x \right)} = \frac{e^{3 x}}{2} + \frac{e^{- 3 x}}{2}$$
-y - 2*y' + y'' = exp(3*x)/2 + exp(-3*x)/2
Solución detallada
Tenemos la ecuación:
$$- y{\left(x \right)} - 2 \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + \frac{d^{2}}{d x^{2}} y{\left(x \right)} = \frac{e^{3 x}}{2} + \frac{e^{- 3 x}}{2}$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
donde
$$p = -2$$
$$q = -1$$
$$s = - \frac{e^{3 x}}{2} - \frac{e^{- 3 x}}{2}$$
Se llama lineal heterogénea
ecuación diferencial de 2 orden con factores constantes.
No hay mucha dificultad en la resolución de esta ecuación
Primero resolvamos la ecuación lineal homogénea correspondiente
Primero hallemos las raíces de la ecuación característica
$$q + \left(k^{2} + k p\right) = 0$$
En nuestro caso la ecuación característica va a tener la forma:
$$k^{2} - 2 k - 1 = 0$$
Solución detallada de una ecuación simple
- es una ecuación cuadrática simple
Raíces de esta ecuación:
$$k_{1} = 1 - \sqrt{2}$$
$$k_{2} = 1 + \sqrt{2}$$
Como la ecuación característica tiene dos raíces,
y las raíces no tienen una forma compleja, entonces
la solución de la ecuación diferencial correspondiente tiene la forma:
$$y{\left(x \right)} = C_{1} e^{k_{1} x} + C_{2} e^{k_{2} x}$$
$$y{\left(x \right)} = C_{1} e^{x \left(1 - \sqrt{2}\right)} + C_{2} e^{x \left(1 + \sqrt{2}\right)}$$
Hemos encontrado la solución de la ecuación homogénea correspondiente
Ahora hay que resolver nuestra ecuación heterogénea
Usamos el método de variación de la constante arbitraria
Consideremos que C1 y C2 son funciones de x
Y la solución general será:
$$y{\left(x \right)} = \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} e^{x \left(1 - \sqrt{2}\right)} + \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} e^{x \left(1 + \sqrt{2}\right)}$$
donde C1(x) y C2(x)
según el método de variación de constantes hallemos del sistema:
$$\operatorname{y_{1}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} + \operatorname{y_{2}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = 0$$
$$\frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{y_{1}}{\left(x \right)} + \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{y_{2}}{\left(x \right)} = f{\left(x \right)}$$
donde
y1(x) y y2(x) son soluciones parciales linealmente independientes de la ecuación diferencial lineal homogénea,
y1(x) = exp(x*(1 - sqrt(2))) (C1=1, C2=0),
y2(x) = exp(x*(1 + sqrt(2))) (C1=0, C2=1).
A es un término independiente f = - s, o
$$f{\left(x \right)} = \frac{e^{3 x}}{2} + \frac{e^{- 3 x}}{2}$$
Es decir, el sistema tendrá la forma:
$$e^{x \left(1 - \sqrt{2}\right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} + e^{x \left(1 + \sqrt{2}\right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = 0$$
$$\frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} e^{x \left(1 - \sqrt{2}\right)} + \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} e^{x \left(1 + \sqrt{2}\right)} = \frac{e^{3 x}}{2} + \frac{e^{- 3 x}}{2}$$
o
$$e^{x \left(1 - \sqrt{2}\right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} + e^{x \left(1 + \sqrt{2}\right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = 0$$
$$\left(1 - \sqrt{2}\right) e^{x \left(1 - \sqrt{2}\right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} + \left(1 + \sqrt{2}\right) e^{x \left(1 + \sqrt{2}\right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = \frac{e^{3 x}}{2} + \frac{e^{- 3 x}}{2}$$
Resolvamos este sistema:
$$\frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} = - \frac{\sqrt{2} \left(e^{6 x} + 1\right) e^{- x \left(4 - \sqrt{2}\right)}}{8}$$
$$\frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = \frac{\sqrt{2} \left(e^{6 x} + 1\right) e^{- x \left(\sqrt{2} + 4\right)}}{8}$$
- son ecuaciones diferenciales simples, resolvámoslas
$$\operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} = C_{3} + \int \left(- \frac{\sqrt{2} \left(e^{6 x} + 1\right) e^{- x \left(4 - \sqrt{2}\right)}}{8}\right)\, dx$$
$$\operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = C_{4} + \int \frac{\sqrt{2} \left(e^{6 x} + 1\right) e^{- x \left(\sqrt{2} + 4\right)}}{8}\, dx$$
o
$$\operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} = C_{3} - \frac{\sqrt{2} \left(- \frac{44 e^{6 x}}{- 38 e^{4 x} e^{- \sqrt{2} x} + 6 \sqrt{2} e^{4 x} e^{- \sqrt{2} x}} + \frac{25 \sqrt{2} e^{6 x}}{- 38 e^{4 x} e^{- \sqrt{2} x} + 6 \sqrt{2} e^{4 x} e^{- \sqrt{2} x}} + \frac{\sqrt{2}}{- 38 e^{4 x} e^{- \sqrt{2} x} + 6 \sqrt{2} e^{4 x} e^{- \sqrt{2} x}} + \frac{10}{- 38 e^{4 x} e^{- \sqrt{2} x} + 6 \sqrt{2} e^{4 x} e^{- \sqrt{2} x}}\right)}{8}$$
$$\operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = C_{4} + \frac{\sqrt{2} \left(- \frac{9 e^{6 x}}{- 10 e^{4 x} e^{\sqrt{2} x} + \sqrt{2} e^{4 x} e^{\sqrt{2} x}} - \frac{4 \sqrt{2} e^{6 x}}{- 10 e^{4 x} e^{\sqrt{2} x} + \sqrt{2} e^{4 x} e^{\sqrt{2} x}} - \frac{\sqrt{2}}{- 10 e^{4 x} e^{\sqrt{2} x} + \sqrt{2} e^{4 x} e^{\sqrt{2} x}} + \frac{3}{- 10 e^{4 x} e^{\sqrt{2} x} + \sqrt{2} e^{4 x} e^{\sqrt{2} x}}\right)}{8}$$
Sustituyamos C1(x) y C2(x) hallados en
$$y{\left(x \right)} = \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} e^{x \left(1 - \sqrt{2}\right)} + \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} e^{x \left(1 + \sqrt{2}\right)}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$y{\left(x \right)} = C_{3} e^{x} e^{- \sqrt{2} x} + C_{4} e^{x} e^{\sqrt{2} x} + \frac{11 \sqrt{2} e^{7 x}}{- 76 e^{4 x} + 12 \sqrt{2} e^{4 x}} - \frac{25 e^{7 x}}{- 152 e^{4 x} + 24 \sqrt{2} e^{4 x}} - \frac{5 \sqrt{2} e^{x}}{- 152 e^{4 x} + 24 \sqrt{2} e^{4 x}} - \frac{e^{x}}{- 152 e^{4 x} + 24 \sqrt{2} e^{4 x}} - \frac{9 \sqrt{2} e^{7 x} e^{\sqrt{2} x}}{8 \left(- 10 e^{4 x} e^{\sqrt{2} x} + \sqrt{2} e^{4 x} e^{\sqrt{2} x}\right)} - \frac{e^{7 x} e^{\sqrt{2} x}}{- 10 e^{4 x} e^{\sqrt{2} x} + \sqrt{2} e^{4 x} e^{\sqrt{2} x}} - \frac{e^{x} e^{\sqrt{2} x}}{4 \left(- 10 e^{4 x} e^{\sqrt{2} x} + \sqrt{2} e^{4 x} e^{\sqrt{2} x}\right)} + \frac{3 \sqrt{2} e^{x} e^{\sqrt{2} x}}{8 \left(- 10 e^{4 x} e^{\sqrt{2} x} + \sqrt{2} e^{4 x} e^{\sqrt{2} x}\right)}$$
donde C3 y C4 hay son constantes
$$- y{\left(x \right)} - 2 \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + \frac{d^{2}}{d x^{2}} y{\left(x \right)} = \frac{e^{3 x}}{2} + \frac{e^{- 3 x}}{2}$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
y'' + p*y' + q*y = s,
donde
$$p = -2$$
$$q = -1$$
$$s = - \frac{e^{3 x}}{2} - \frac{e^{- 3 x}}{2}$$
Se llama lineal heterogénea
ecuación diferencial de 2 orden con factores constantes.
No hay mucha dificultad en la resolución de esta ecuación
Primero resolvamos la ecuación lineal homogénea correspondiente
y'' + p*y' + q*y = 0
Primero hallemos las raíces de la ecuación característica
$$q + \left(k^{2} + k p\right) = 0$$
En nuestro caso la ecuación característica va a tener la forma:
$$k^{2} - 2 k - 1 = 0$$
Solución detallada de una ecuación simple
- es una ecuación cuadrática simple
Raíces de esta ecuación:
$$k_{1} = 1 - \sqrt{2}$$
$$k_{2} = 1 + \sqrt{2}$$
Como la ecuación característica tiene dos raíces,
y las raíces no tienen una forma compleja, entonces
la solución de la ecuación diferencial correspondiente tiene la forma:
$$y{\left(x \right)} = C_{1} e^{k_{1} x} + C_{2} e^{k_{2} x}$$
$$y{\left(x \right)} = C_{1} e^{x \left(1 - \sqrt{2}\right)} + C_{2} e^{x \left(1 + \sqrt{2}\right)}$$
Hemos encontrado la solución de la ecuación homogénea correspondiente
Ahora hay que resolver nuestra ecuación heterogénea
y'' + p*y' + q*y = s
Usamos el método de variación de la constante arbitraria
Consideremos que C1 y C2 son funciones de x
Y la solución general será:
$$y{\left(x \right)} = \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} e^{x \left(1 - \sqrt{2}\right)} + \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} e^{x \left(1 + \sqrt{2}\right)}$$
donde C1(x) y C2(x)
según el método de variación de constantes hallemos del sistema:
$$\operatorname{y_{1}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} + \operatorname{y_{2}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = 0$$
$$\frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{y_{1}}{\left(x \right)} + \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{y_{2}}{\left(x \right)} = f{\left(x \right)}$$
donde
y1(x) y y2(x) son soluciones parciales linealmente independientes de la ecuación diferencial lineal homogénea,
y1(x) = exp(x*(1 - sqrt(2))) (C1=1, C2=0),
y2(x) = exp(x*(1 + sqrt(2))) (C1=0, C2=1).
A es un término independiente f = - s, o
$$f{\left(x \right)} = \frac{e^{3 x}}{2} + \frac{e^{- 3 x}}{2}$$
Es decir, el sistema tendrá la forma:
$$e^{x \left(1 - \sqrt{2}\right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} + e^{x \left(1 + \sqrt{2}\right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = 0$$
$$\frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} e^{x \left(1 - \sqrt{2}\right)} + \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} e^{x \left(1 + \sqrt{2}\right)} = \frac{e^{3 x}}{2} + \frac{e^{- 3 x}}{2}$$
o
$$e^{x \left(1 - \sqrt{2}\right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} + e^{x \left(1 + \sqrt{2}\right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = 0$$
$$\left(1 - \sqrt{2}\right) e^{x \left(1 - \sqrt{2}\right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} + \left(1 + \sqrt{2}\right) e^{x \left(1 + \sqrt{2}\right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = \frac{e^{3 x}}{2} + \frac{e^{- 3 x}}{2}$$
Resolvamos este sistema:
$$\frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} = - \frac{\sqrt{2} \left(e^{6 x} + 1\right) e^{- x \left(4 - \sqrt{2}\right)}}{8}$$
$$\frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = \frac{\sqrt{2} \left(e^{6 x} + 1\right) e^{- x \left(\sqrt{2} + 4\right)}}{8}$$
- son ecuaciones diferenciales simples, resolvámoslas
$$\operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} = C_{3} + \int \left(- \frac{\sqrt{2} \left(e^{6 x} + 1\right) e^{- x \left(4 - \sqrt{2}\right)}}{8}\right)\, dx$$
$$\operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = C_{4} + \int \frac{\sqrt{2} \left(e^{6 x} + 1\right) e^{- x \left(\sqrt{2} + 4\right)}}{8}\, dx$$
o
$$\operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} = C_{3} - \frac{\sqrt{2} \left(- \frac{44 e^{6 x}}{- 38 e^{4 x} e^{- \sqrt{2} x} + 6 \sqrt{2} e^{4 x} e^{- \sqrt{2} x}} + \frac{25 \sqrt{2} e^{6 x}}{- 38 e^{4 x} e^{- \sqrt{2} x} + 6 \sqrt{2} e^{4 x} e^{- \sqrt{2} x}} + \frac{\sqrt{2}}{- 38 e^{4 x} e^{- \sqrt{2} x} + 6 \sqrt{2} e^{4 x} e^{- \sqrt{2} x}} + \frac{10}{- 38 e^{4 x} e^{- \sqrt{2} x} + 6 \sqrt{2} e^{4 x} e^{- \sqrt{2} x}}\right)}{8}$$
$$\operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = C_{4} + \frac{\sqrt{2} \left(- \frac{9 e^{6 x}}{- 10 e^{4 x} e^{\sqrt{2} x} + \sqrt{2} e^{4 x} e^{\sqrt{2} x}} - \frac{4 \sqrt{2} e^{6 x}}{- 10 e^{4 x} e^{\sqrt{2} x} + \sqrt{2} e^{4 x} e^{\sqrt{2} x}} - \frac{\sqrt{2}}{- 10 e^{4 x} e^{\sqrt{2} x} + \sqrt{2} e^{4 x} e^{\sqrt{2} x}} + \frac{3}{- 10 e^{4 x} e^{\sqrt{2} x} + \sqrt{2} e^{4 x} e^{\sqrt{2} x}}\right)}{8}$$
Sustituyamos C1(x) y C2(x) hallados en
$$y{\left(x \right)} = \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} e^{x \left(1 - \sqrt{2}\right)} + \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} e^{x \left(1 + \sqrt{2}\right)}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$y{\left(x \right)} = C_{3} e^{x} e^{- \sqrt{2} x} + C_{4} e^{x} e^{\sqrt{2} x} + \frac{11 \sqrt{2} e^{7 x}}{- 76 e^{4 x} + 12 \sqrt{2} e^{4 x}} - \frac{25 e^{7 x}}{- 152 e^{4 x} + 24 \sqrt{2} e^{4 x}} - \frac{5 \sqrt{2} e^{x}}{- 152 e^{4 x} + 24 \sqrt{2} e^{4 x}} - \frac{e^{x}}{- 152 e^{4 x} + 24 \sqrt{2} e^{4 x}} - \frac{9 \sqrt{2} e^{7 x} e^{\sqrt{2} x}}{8 \left(- 10 e^{4 x} e^{\sqrt{2} x} + \sqrt{2} e^{4 x} e^{\sqrt{2} x}\right)} - \frac{e^{7 x} e^{\sqrt{2} x}}{- 10 e^{4 x} e^{\sqrt{2} x} + \sqrt{2} e^{4 x} e^{\sqrt{2} x}} - \frac{e^{x} e^{\sqrt{2} x}}{4 \left(- 10 e^{4 x} e^{\sqrt{2} x} + \sqrt{2} e^{4 x} e^{\sqrt{2} x}\right)} + \frac{3 \sqrt{2} e^{x} e^{\sqrt{2} x}}{8 \left(- 10 e^{4 x} e^{\sqrt{2} x} + \sqrt{2} e^{4 x} e^{\sqrt{2} x}\right)}$$
donde C3 y C4 hay son constantes
Respuesta
[src]
3*x -3*x / ___\ / ___\
e e x*\1 - \/ 2 / x*\1 + \/ 2 /
y(x) = ---- + ----- + C1*e + C2*e
4 28
$$y{\left(x \right)} = C_{1} e^{x \left(1 - \sqrt{2}\right)} + C_{2} e^{x \left(1 + \sqrt{2}\right)} + \frac{e^{3 x}}{4} + \frac{e^{- 3 x}}{28}$$
Clasificación
nth linear constant coeff undetermined coefficients
nth linear constant coeff variation of parameters
nth linear constant coeff variation of parameters Integral