Sr Examen

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¿Cómo usar?
Ecuación diferencial:
Ecuación -x*y'+x*y''+y=0
Ecuación y=x(y'-xcosx)
Ecuación 2*y+y'=e^(3*x)
Ecuación y'+y=2*sin(x)+e^x+x+1
Expresiones idénticas
y'= doce + ocho *y/x+y^ dos /x^ dos
y signo de prima para el primer (1) orden es igual a 12 más 8 multiplicar por y dividir por x más y al cuadrado dividir por x al cuadrado
y signo de prima para el primer (1) orden es igual a doce más ocho multiplicar por y dividir por x más y en el grado dos dividir por x en el grado dos
y'=12+8*y/x+y2/x2
y'=12+8*y/x+y²/x²
y'=12+8*y/x+y en el grado 2/x en el grado 2
y'=12+8y/x+y^2/x^2
y'=12+8y/x+y2/x2
y'=12+8*y dividir por x+y^2 dividir por x^2
Expresiones semejantes
y'=12-8*y/x+y^2/x^2
y'=12+8*y/x-y^2/x^2

Ecuación diferencial y'=12+8*y/x+y^2/x^2

El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉

⌨

Ha introducido [src]

                 2            
d               y (x)   8*y(x)
--(y(x)) = 12 + ----- + ------
dx                 2      x   
                  x

\frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = 12 + \frac{8 y{\left(x \right)}}{x} + \frac{y^{2}{\left(x \right)}}{x^{2}}

y' = 12 + 8*y/x + y^2/x^2

Solución detallada

Tenemos la ecuación:

\frac{d}{d x} y{\left(x \right)} - 12 - \frac{8 y{\left(x \right)}}{x} - \frac{y^{2}{\left(x \right)}}{x^{2}} = 0

Sustituimos

u{\left(x \right)} = \frac{y{\left(x \right)}}{x}

y porque

y{\left(x \right)} = x u{\left(x \right)}

entonces

\frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = x \frac{d}{d x} u{\left(x \right)} + u{\left(x \right)}

sustituimos

- u^{2}{\left(x \right)} - 8 u{\left(x \right)} + \frac{d}{d x} x u{\left(x \right)} - 12 = 0

x \frac{d}{d x} u{\left(x \right)} - u^{2}{\left(x \right)} - 7 u{\left(x \right)} - 12 = 0

Esta ecuación diferencial tiene la forma:

f1(x)*g1(u)*u' = f2(x)*g2(u),

donde

\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1

\operatorname{g_{1}}{\left(u \right)} = 1

\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = \frac{1}{x}

\operatorname{g_{2}}{\left(u \right)} = u^{2}{\left(x \right)} + 7 u{\left(x \right)} + 12

Pasemos la ecuación a la forma:

g1(u)/g2(u)*u'= f2(x)/f1(x).

Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(u)

u^{2}{\left(x \right)} + 7 u{\left(x \right)} + 12

obtendremos

\frac{\frac{d}{d x} u{\left(x \right)}}{u^{2}{\left(x \right)} + 7 u{\left(x \right)} + 12} = \frac{1}{x}

Con esto hemos separado las variables x y u.

Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así

\frac{dx \frac{d}{d x} u{\left(x \right)}}{u^{2}{\left(x \right)} + 7 u{\left(x \right)} + 12} = \frac{dx}{x}

\frac{du}{u^{2}{\left(x \right)} + 7 u{\left(x \right)} + 12} = \frac{dx}{x}

Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por u,
- de la parte derecha la integral por x.

\int \frac{1}{u^{2} + 7 u + 12}\, du = \int \frac{1}{x}\, dx

Tomemos estas integrales

\log{\left(u + 3 \right)} - \log{\left(u + 4 \right)} = Const + \log{\left(x \right)}

Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica u.
(Const - es una constante)

La solución:

\operatorname{u_{1}} = u{\left(x \right)} = \frac{3 C_{1} - 4 x}{- C_{1} + x}

hacemos cambio inverso

y{\left(x \right)} = x u{\left(x \right)}

y1 = y(x) = \frac{x \left(3 C_{1} - 4 x\right)}{- C_{1} + x}

Respuesta [src]

       -x*(-3*C1 + 4*x) 
y(x) = -----------------
             x - C1

y{\left(x \right)} = - \frac{x \left(- 3 C_{1} + 4 x\right)}{- C_{1} + x}

Clasificación

1st homogeneous coeff best

1st homogeneous coeff subs indep div dep

1st homogeneous coeff subs dep div indep

lie group

1st homogeneous coeff subs indep div dep Integral

1st homogeneous coeff subs dep div indep Integral