Tenemos la ecuación:
$$- e^{x} \sec^{2}{\left(y{\left(x \right)} \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + \sec^{2}{\left(y{\left(x \right)} \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = e^{x} \tan{\left(y{\left(x \right)} \right)}$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
f1(x)*g1(y)*y' = f2(x)*g2(y),
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = \frac{e^{x}}{2 \left(1 - e^{x}\right)}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = \sin{\left(2 y{\left(x \right)} \right)}$$
Pasemos la ecuación a la forma:
g1(y)/g2(y)*y'= f2(x)/f1(x).
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y)
$$\sin{\left(2 y{\left(x \right)} \right)}$$
obtendremos
$$\frac{\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{\sin{\left(2 y{\left(x \right)} \right)}} = \frac{e^{x}}{2 \left(1 - e^{x}\right)}$$
Con esto hemos separado las variables x y y.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$\frac{dx \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{\sin{\left(2 y{\left(x \right)} \right)}} = \frac{dx e^{x}}{2 \left(1 - e^{x}\right)}$$
o
$$\frac{dy}{\sin{\left(2 y{\left(x \right)} \right)}} = \frac{dx e^{x}}{2 \left(1 - e^{x}\right)}$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \frac{1}{\sin{\left(2 y \right)}}\, dy = \int \frac{e^{x}}{2 \left(1 - e^{x}\right)}\, dx$$
Solución detallada de la integral con ySolución detallada de la integral con xTomemos estas integrales
$$\frac{\log{\left(\cos{\left(2 y \right)} - 1 \right)}}{4} - \frac{\log{\left(\cos{\left(2 y \right)} + 1 \right)}}{4} = Const - \frac{\log{\left(e^{x} - 1 \right)}}{2}$$
Solución detallada de una ecuación simpleHemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = \pi - \frac{\operatorname{acos}{\left(\frac{- C_{1} - e^{2 x} + 2 e^{x} - 1}{C_{1} - e^{2 x} + 2 e^{x} - 1} \right)}}{2}$$
$$\operatorname{y_{2}} = y{\left(x \right)} = \frac{\operatorname{acos}{\left(\frac{- C_{1} - e^{2 x} + 2 e^{x} - 1}{C_{1} - e^{2 x} + 2 e^{x} - 1} \right)}}{2}$$