Ecuación diferencial y'+2x^2y'+2xy-2x=0

Tenemos la ecuación:
$$2 x^{2} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + 2 x y{\left(x \right)} - 2 x + \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = 0$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:

f1(x)*g1(y)*y' = f2(x)*g2(y),

donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = \frac{2 x}{2 x^{2} + 1}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = 1 - y{\left(x \right)}$$
Pasemos la ecuación a la forma:

g1(y)/g2(y)*y'= f2(x)/f1(x).

Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y)
$$1 - y{\left(x \right)}$$
obtendremos
$$- \frac{\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{y{\left(x \right)} - 1} = \frac{2 x}{2 x^{2} + 1}$$
Con esto hemos separado las variables x y y.

Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$- \frac{dx \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{y{\left(x \right)} - 1} = \frac{2 dx x}{2 x^{2} + 1}$$
o
$$- \frac{dy}{y{\left(x \right)} - 1} = \frac{2 dx x}{2 x^{2} + 1}$$

Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \left(- \frac{1}{y - 1}\right)\, dy = \int \frac{2 x}{2 x^{2} + 1}\, dx$$
Solución detallada de la integral con y
Solución detallada de la integral con x
Tomemos estas integrales
$$- \log{\left(y - 1 \right)} = Const + \frac{\log{\left(2 x^{2} + 1 \right)}}{2}$$
Solución detallada de una ecuación simple
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y.
(Const - es una constante)

La solución:
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = \frac{C_{1}}{\sqrt{2 x^{2} + 1}} + 1$$