Ecuación diferencial x^2+y^2*y'=1

Tenemos la ecuación:
$$x^{2} + y^{2}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = 1$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:

f1(x)*g1(y)*y' = f2(x)*g2(y),

donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = x^{2} - 1$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = - \frac{1}{y^{2}{\left(x \right)}}$$
Pasemos la ecuación a la forma:

g1(y)/g2(y)*y'= f2(x)/f1(x).

Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y)
$$- \frac{1}{y^{2}{\left(x \right)}}$$
obtendremos
$$- y^{2}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = x^{2} - 1$$
Con esto hemos separado las variables x y y.

Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$- dx y^{2}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = dx \left(x^{2} - 1\right)$$
o
$$- dy y^{2}{\left(x \right)} = dx \left(x^{2} - 1\right)$$

Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \left(- y^{2}\right)\, dy = \int \left(x^{2} - 1\right)\, dx$$
Solución detallada de la integral con y
Solución detallada de la integral con x
Tomemos estas integrales
$$- \frac{y^{3}}{3} = Const + \frac{x^{3}}{3} - x$$
Solución detallada de una ecuación simple
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y.
(Const - es una constante)

La solución:
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = \frac{\left(-1 - \sqrt{3} i\right) \sqrt[3]{C_{1} - x^{3} + 3 x}}{2}$$
$$\operatorname{y_{2}} = y{\left(x \right)} = \frac{\left(-1 + \sqrt{3} i\right) \sqrt[3]{C_{1} - x^{3} + 3 x}}{2}$$
$$\operatorname{y_{3}} = y{\left(x \right)} = \sqrt[3]{C_{1} - x^{3} + 3 x}$$