Sr Examen
Ecuación diferencial sinxdy-ylnydx=0
El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉
⌨
Solución
Ha introducido
[src]
d --(y(x))*sin(x) - log(y(x))*y(x) = 0 dx
$$- y{\left(x \right)} \log{\left(y{\left(x \right)} \right)} + \sin{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = 0$$
-y*log(y) + sin(x)*y' = 0
Solución detallada
Tenemos la ecuación:
$$- y{\left(x \right)} \log{\left(y{\left(x \right)} \right)} + \sin{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = 0$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = - \frac{1}{\sin{\left(x \right)}}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = - y{\left(x \right)} \log{\left(y{\left(x \right)} \right)}$$
Pasemos la ecuación a la forma:
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y)
$$- y{\left(x \right)} \log{\left(y{\left(x \right)} \right)}$$
obtendremos
$$- \frac{\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{y{\left(x \right)} \log{\left(y{\left(x \right)} \right)}} = - \frac{1}{\sin{\left(x \right)}}$$
Con esto hemos separado las variables x y y.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$- \frac{dx \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{y{\left(x \right)} \log{\left(y{\left(x \right)} \right)}} = - \frac{dx}{\sin{\left(x \right)}}$$
o
$$- \frac{dy}{y{\left(x \right)} \log{\left(y{\left(x \right)} \right)}} = - \frac{dx}{\sin{\left(x \right)}}$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \left(- \frac{1}{y \log{\left(y \right)}}\right)\, dy = \int \left(- \frac{1}{\sin{\left(x \right)}}\right)\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$- \log{\left(\log{\left(y \right)} \right)} = Const - \frac{\log{\left(\cos{\left(x \right)} - 1 \right)}}{2} + \frac{\log{\left(\cos{\left(x \right)} + 1 \right)}}{2}$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = e^{\frac{C_{1} \sqrt{\cos{\left(x \right)} - 1}}{\sqrt{\cos{\left(x \right)} + 1}}}$$
$$- y{\left(x \right)} \log{\left(y{\left(x \right)} \right)} + \sin{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = 0$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
f1(x)*g1(y)*y' = f2(x)*g2(y),
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = - \frac{1}{\sin{\left(x \right)}}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = - y{\left(x \right)} \log{\left(y{\left(x \right)} \right)}$$
Pasemos la ecuación a la forma:
g1(y)/g2(y)*y'= f2(x)/f1(x).
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y)
$$- y{\left(x \right)} \log{\left(y{\left(x \right)} \right)}$$
obtendremos
$$- \frac{\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{y{\left(x \right)} \log{\left(y{\left(x \right)} \right)}} = - \frac{1}{\sin{\left(x \right)}}$$
Con esto hemos separado las variables x y y.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$- \frac{dx \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{y{\left(x \right)} \log{\left(y{\left(x \right)} \right)}} = - \frac{dx}{\sin{\left(x \right)}}$$
o
$$- \frac{dy}{y{\left(x \right)} \log{\left(y{\left(x \right)} \right)}} = - \frac{dx}{\sin{\left(x \right)}}$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \left(- \frac{1}{y \log{\left(y \right)}}\right)\, dy = \int \left(- \frac{1}{\sin{\left(x \right)}}\right)\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$- \log{\left(\log{\left(y \right)} \right)} = Const - \frac{\log{\left(\cos{\left(x \right)} - 1 \right)}}{2} + \frac{\log{\left(\cos{\left(x \right)} + 1 \right)}}{2}$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = e^{\frac{C_{1} \sqrt{\cos{\left(x \right)} - 1}}{\sqrt{\cos{\left(x \right)} + 1}}}$$
Respuesta
[src]
_____________
C1*\/ -1 + cos(x)
------------------
____________
\/ 1 + cos(x)
y(x) = e
$$y{\left(x \right)} = e^{\frac{C_{1} \sqrt{\cos{\left(x \right)} - 1}}{\sqrt{\cos{\left(x \right)} + 1}}}$$
Clasificación
separable
lie group
separable Integral