Sr Examen
Ecuación diferencial d^2x/dt^2-(g/l)x=0
El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉
⌨
Solución
Ha introducido
[src]
2
g*x(t) d
- ------ + ---(x(t)) = 0
l 2
dt
$$- \frac{g x{\left(t \right)}}{l} + \frac{d^{2}}{d t^{2}} x{\left(t \right)} = 0$$
-g*x/l + x'' = 0
Solución detallada
Tenemos la ecuación:
$$- \frac{g x{\left(t \right)}}{l} + \frac{d^{2}}{d t^{2}} x{\left(t \right)} = 0$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
donde
$$p = 0$$
$$q = - \frac{g}{l}$$
Se llama lineal homogénea
ecuación diferencial de 2 orden con factores constantes.
No hay mucha dificultad en la resolución de esta ecuación
Primero resolvamos la ecuación lineal homogénea correspondiente
Primero hallemos las raíces de la ecuación característica
$$q + \left(k^{2} + k p\right) = 0$$
En nuestro caso la ecuación característica va a tener la forma:
$$- \frac{g}{l} + k^{2} = 0$$
Solución detallada de una ecuación simple
- es una ecuación cuadrática simple
Raíces de esta ecuación:
$$k_{1} = - \sqrt{\frac{g}{l}}$$
$$k_{2} = \sqrt{\frac{g}{l}}$$
Como la ecuación característica tiene dos raíces,
la solución de la ecuación diferencial correspondiente tiene la forma:
$$x{\left(t \right)} = e^{k_{1} t} C_{1} + e^{k_{2} t} C_{2}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$x{\left(t \right)} = C_{1} e^{- t \sqrt{\frac{g}{l}}} + C_{2} e^{t \sqrt{\frac{g}{l}}}$$
$$- \frac{g x{\left(t \right)}}{l} + \frac{d^{2}}{d t^{2}} x{\left(t \right)} = 0$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
y'' + p*y' + q*y = 0,
donde
$$p = 0$$
$$q = - \frac{g}{l}$$
Se llama lineal homogénea
ecuación diferencial de 2 orden con factores constantes.
No hay mucha dificultad en la resolución de esta ecuación
Primero resolvamos la ecuación lineal homogénea correspondiente
y'' + p*y' + q*y = 0
Primero hallemos las raíces de la ecuación característica
$$q + \left(k^{2} + k p\right) = 0$$
En nuestro caso la ecuación característica va a tener la forma:
$$- \frac{g}{l} + k^{2} = 0$$
Solución detallada de una ecuación simple
- es una ecuación cuadrática simple
Raíces de esta ecuación:
$$k_{1} = - \sqrt{\frac{g}{l}}$$
$$k_{2} = \sqrt{\frac{g}{l}}$$
Como la ecuación característica tiene dos raíces,
la solución de la ecuación diferencial correspondiente tiene la forma:
$$x{\left(t \right)} = e^{k_{1} t} C_{1} + e^{k_{2} t} C_{2}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$x{\left(t \right)} = C_{1} e^{- t \sqrt{\frac{g}{l}}} + C_{2} e^{t \sqrt{\frac{g}{l}}}$$
Respuesta
[src]
___ ___
/ g / g
-t* / - t* / -
\/ l \/ l
x(t) = C1*e + C2*e
$$x{\left(t \right)} = C_{1} e^{- t \sqrt{\frac{g}{l}}} + C_{2} e^{t \sqrt{\frac{g}{l}}}$$
Clasificación
nth linear constant coeff homogeneous
2nd power series ordinary