Ecuación diferencial 6sin^2(5x)*y’-y^2=1

Tenemos la ecuación:
$$- y^{2}{\left(x \right)} + 6 \sin^{2}{\left(5 x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = 1$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:

f1(x)*g1(y)*y' = f2(x)*g2(y),

donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = - \frac{1}{\sin^{2}{\left(5 x \right)}}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = - \frac{y^{2}{\left(x \right)}}{6} - \frac{1}{6}$$
Pasemos la ecuación a la forma:

g1(y)/g2(y)*y'= f2(x)/f1(x).

Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y)
$$- \frac{y^{2}{\left(x \right)}}{6} - \frac{1}{6}$$
obtendremos
$$- \frac{6 \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{y^{2}{\left(x \right)} + 1} = - \frac{1}{\sin^{2}{\left(5 x \right)}}$$
Con esto hemos separado las variables x y y.

Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$- \frac{6 dx \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{y^{2}{\left(x \right)} + 1} = - \frac{dx}{\sin^{2}{\left(5 x \right)}}$$
o
$$- \frac{6 dy}{y^{2}{\left(x \right)} + 1} = - \frac{dx}{\sin^{2}{\left(5 x \right)}}$$

Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \left(- \frac{6}{y^{2} + 1}\right)\, dy = \int \left(- \frac{1}{\sin^{2}{\left(5 x \right)}}\right)\, dx$$
Solución detallada de la integral con y
Solución detallada de la integral con x
Tomemos estas integrales
$$- 6 \operatorname{atan}{\left(y \right)} = Const + \frac{\cos{\left(5 x \right)}}{5 \sin{\left(5 x \right)}}$$
Solución detallada de una ecuación simple
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y.
(Const - es una constante)

La solución:
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = - \tan{\left(C_{1} + \frac{1}{30 \tan{\left(5 x \right)}} \right)}$$