Ecuación diferencial y''-5y'=x-2

Tenemos la ecuación:
$$- 5 \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + \frac{d^{2}}{d x^{2}} y{\left(x \right)} = x - 2$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:

y'' + p*y' + q*y = s,

donde
$$p = -5$$
$$q = 0$$
$$s = 2 - x$$
Se llama lineal heterogénea
ecuación diferencial de 2 orden con factores constantes.
No hay mucha dificultad en la resolución de esta ecuación
Primero hallemos las raíces de la ecuación característica
$$q + \left(k^{2} + k p\right) = 0$$
En nuestro caso la ecuación característica va a tener la forma:
$$k^{2} - 5 k = 0$$
Solución detallada de una ecuación simple
- es una ecuación cuadrática simple
Raíces de esta ecuación:
$$k_{1} = 0$$
$$k_{2} = 5$$
Como la ecuación característica tiene dos raíces,
y las raíces no tienen una forma compleja, entonces
la solución de la ecuación diferencial correspondiente tiene la forma:
$$y{\left(x \right)} = C_{1} e^{k_{1} x} + C_{2} e^{k_{2} x}$$
$$y{\left(x \right)} = C_{1} + C_{2} e^{5 x}$$

Hemos encontrado la solución de la ecuación homogénea correspondiente
Ahora hay que resolver nuestra ecuación heterogénea

y'' + p*y' + q*y = s

Usamos el método de variación de la constante arbitraria
Consideremos que C1 y C2 son funciones de x

Y la solución general será:
$$y{\left(x \right)} = \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} + \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} e^{5 x}$$
donde C1(x) y C2(x)
según el método de variación de constantes hallemos del sistema:
$$\operatorname{y_{1}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} + \operatorname{y_{2}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = 0$$
$$\frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{y_{1}}{\left(x \right)} + \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{y_{2}}{\left(x \right)} = f{\left(x \right)}$$
donde
y1(x) y y2(x) son soluciones parciales linealmente independientes de la ecuación diferencial lineal homogénea,
y1(x) = 1 (C1=1, C2=0),
y2(x) = exp(5*x) (C1=0, C2=1).
A es un término independiente f = - s, o
$$f{\left(x \right)} = x - 2$$
Es decir, el sistema tendrá la forma:
$$e^{5 x} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} + \frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} = 0$$
$$\frac{d}{d x} 1 \frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} + \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} e^{5 x} = x - 2$$
o
$$e^{5 x} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} + \frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} = 0$$
$$5 e^{5 x} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = x - 2$$
Resolvamos este sistema:
$$\frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} = \frac{2}{5} - \frac{x}{5}$$
$$\frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = \frac{\left(x - 2\right) e^{- 5 x}}{5}$$
- son ecuaciones diferenciales simples, resolvámoslas
$$\operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} = C_{3} + \int \left(\frac{2}{5} - \frac{x}{5}\right)\, dx$$
$$\operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = C_{4} + \int \frac{\left(x - 2\right) e^{- 5 x}}{5}\, dx$$
o
$$\operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} = C_{3} - \frac{x^{2}}{10} + \frac{2 x}{5}$$
$$\operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = C_{4} + \frac{\left(9 - 5 x\right) e^{- 5 x}}{125}$$
Sustituyamos C1(x) y C2(x) hallados en
$$y{\left(x \right)} = \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} + \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} e^{5 x}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$y{\left(x \right)} = C_{3} + C_{4} e^{5 x} - \frac{x^{2}}{10} + \frac{9 x}{25} + \frac{9}{125}$$
donde C3 y C4 hay son constantes