Ecuación diferencial y''+y'-2y=x^(2)*e^(4x)

Tenemos la ecuación:
$$- 2 y{\left(x \right)} + \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + \frac{d^{2}}{d x^{2}} y{\left(x \right)} = x^{2} e^{4 x}$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:

y'' + p*y' + q*y = s,

donde
$$p = 1$$
$$q = -2$$
$$s = - x^{2} e^{4 x}$$
Se llama lineal heterogénea
ecuación diferencial de 2 orden con factores constantes.
No hay mucha dificultad en la resolución de esta ecuación
Primero resolvamos la ecuación lineal homogénea correspondiente

y'' + p*y' + q*y = 0

Primero hallemos las raíces de la ecuación característica
$$q + \left(k^{2} + k p\right) = 0$$
En nuestro caso la ecuación característica va a tener la forma:
$$k^{2} + k - 2 = 0$$
Solución detallada de una ecuación simple
- es una ecuación cuadrática simple
Raíces de esta ecuación:
$$k_{1} = -2$$
$$k_{2} = 1$$
Como la ecuación característica tiene dos raíces,
y las raíces no tienen una forma compleja, entonces
la solución de la ecuación diferencial correspondiente tiene la forma:
$$y{\left(x \right)} = C_{1} e^{k_{1} x} + C_{2} e^{k_{2} x}$$
$$y{\left(x \right)} = C_{1} e^{- 2 x} + C_{2} e^{x}$$

Hemos encontrado la solución de la ecuación homogénea correspondiente
Ahora hay que resolver nuestra ecuación heterogénea

y'' + p*y' + q*y = s

Usamos el método de variación de la constante arbitraria
Consideremos que C1 y C2 son funciones de x

Y la solución general será:
$$y{\left(x \right)} = \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} e^{- 2 x} + \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} e^{x}$$
donde C1(x) y C2(x)
según el método de variación de constantes hallemos del sistema:
$$\operatorname{y_{1}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} + \operatorname{y_{2}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = 0$$
$$\frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{y_{1}}{\left(x \right)} + \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{y_{2}}{\left(x \right)} = f{\left(x \right)}$$
donde
y1(x) y y2(x) son soluciones parciales linealmente independientes de la ecuación diferencial lineal homogénea,
y1(x) = exp(-2*x) (C1=1, C2=0),
y2(x) = exp(x) (C1=0, C2=1).
A es un término independiente f = - s, o
$$f{\left(x \right)} = x^{2} e^{4 x}$$
Es decir, el sistema tendrá la forma:
$$e^{x} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} + e^{- 2 x} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} = 0$$
$$\frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} e^{- 2 x} + \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} e^{x} = x^{2} e^{4 x}$$
o
$$e^{x} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} + e^{- 2 x} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} = 0$$
$$e^{x} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} - 2 e^{- 2 x} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} = x^{2} e^{4 x}$$
Resolvamos este sistema:
$$\frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} = - \frac{x^{2} e^{6 x}}{3}$$
$$\frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = \frac{x^{2} e^{3 x}}{3}$$
- son ecuaciones diferenciales simples, resolvámoslas
$$\operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} = C_{3} + \int \left(- \frac{x^{2} e^{6 x}}{3}\right)\, dx$$
$$\operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = C_{4} + \int \frac{x^{2} e^{3 x}}{3}\, dx$$
o
$$\operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} = C_{3} + \frac{\left(- 18 x^{2} + 6 x - 1\right) e^{6 x}}{324}$$
$$\operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = C_{4} + \frac{\left(9 x^{2} - 6 x + 2\right) e^{3 x}}{81}$$
Sustituyamos C1(x) y C2(x) hallados en
$$y{\left(x \right)} = \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} e^{- 2 x} + \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} e^{x}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$y{\left(x \right)} = C_{3} e^{- 2 x} + C_{4} e^{x} + \frac{x^{2} e^{4 x}}{18} - \frac{x e^{4 x}}{18} + \frac{7 e^{4 x}}{324}$$
donde C3 y C4 hay son constantes