Sr Examen
Ecuación diferencial 16y"-8y'+y=0
El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉
⌨
Solución
Ha introducido
[src]
2
d d
- 8*--(y(x)) + 16*---(y(x)) + y(x) = 0
dx 2
dx
$$y{\left(x \right)} - 8 \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + 16 \frac{d^{2}}{d x^{2}} y{\left(x \right)} = 0$$
y - 8*y' + 16*y'' = 0
Solución detallada
Dividamos las dos partes de la ecuación al factor de la derivada de y'':
$$16$$
Recibimos la ecuación:
$$\frac{y{\left(x \right)}}{16} - \frac{\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{2} + \frac{d^{2}}{d x^{2}} y{\left(x \right)} = 0$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
donde
$$p = - \frac{1}{2}$$
$$q = \frac{1}{16}$$
Se llama lineal homogénea
ecuación diferencial de 2 orden con factores constantes.
No hay mucha dificultad en la resolución de esta ecuación
Primero resolvamos la ecuación lineal homogénea correspondiente
Primero hallemos las raíces de la ecuación característica
$$q + \left(k^{2} + k p\right) = 0$$
En nuestro caso la ecuación característica va a tener la forma:
$$k^{2} - \frac{k}{2} + \frac{1}{16} = 0$$
Solución detallada de una ecuación simple
- es una ecuación cuadrática simple
La raíz de esta ecuación es:
$$k_{1} = \frac{1}{4}$$
Como la raíz de la ecuación característica es única,
y no tiene una forma compleja, entonces
la solución de la ecuación diferencial correspondiente tiene la forma:
$$y{\left(x \right)} = e^{k_{1} x} C_{1} + e^{k_{1} x} C_{2} x$$
Sustituyamos $$k_{1} = \frac{1}{4}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$y{\left(x \right)} = C_{1} e^{\frac{x}{4}} + C_{2} x e^{\frac{x}{4}}$$
$$16$$
Recibimos la ecuación:
$$\frac{y{\left(x \right)}}{16} - \frac{\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{2} + \frac{d^{2}}{d x^{2}} y{\left(x \right)} = 0$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
y'' + p*y' + q*y = 0,
donde
$$p = - \frac{1}{2}$$
$$q = \frac{1}{16}$$
Se llama lineal homogénea
ecuación diferencial de 2 orden con factores constantes.
No hay mucha dificultad en la resolución de esta ecuación
Primero resolvamos la ecuación lineal homogénea correspondiente
y'' + p*y' + q*y = 0
Primero hallemos las raíces de la ecuación característica
$$q + \left(k^{2} + k p\right) = 0$$
En nuestro caso la ecuación característica va a tener la forma:
$$k^{2} - \frac{k}{2} + \frac{1}{16} = 0$$
Solución detallada de una ecuación simple
- es una ecuación cuadrática simple
La raíz de esta ecuación es:
$$k_{1} = \frac{1}{4}$$
Como la raíz de la ecuación característica es única,
y no tiene una forma compleja, entonces
la solución de la ecuación diferencial correspondiente tiene la forma:
$$y{\left(x \right)} = e^{k_{1} x} C_{1} + e^{k_{1} x} C_{2} x$$
Sustituyamos $$k_{1} = \frac{1}{4}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$y{\left(x \right)} = C_{1} e^{\frac{x}{4}} + C_{2} x e^{\frac{x}{4}}$$
Respuesta
[src]
x
-
4
y(x) = (C1 + C2*x)*e
$$y{\left(x \right)} = \left(C_{1} + C_{2} x\right) e^{\frac{x}{4}}$$
Clasificación
nth linear constant coeff homogeneous
2nd power series ordinary