Sr Examen
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-
¿Cómo usar?
- Ecuación diferencial:
- Ecuación y''+y'-2y=1+x^2+e^x
- Ecuación yy'=2y-x
- Ecuación dy*exp(y)=dx*(x+sin(2*x))
- Ecuación xydy=(y^2+x)dx
- Derivada de:
-
x^2
- Desigualdades:
- x^2
- Gráfico de la función y =:
-
x^2
-
Expresiones idénticas
- ycos(y)(uno -x^ dos)^ cero . cinco *y'=x^ dos
- y coseno de (y)(1 menos x al cuadrado ) en el grado 0.5 multiplicar por y signo de prima para el primer (1) orden es igual a x al cuadrado
- y coseno de (y)(uno menos x en el grado dos) en el grado cero . cinco multiplicar por y signo de prima para el primer (1) orden es igual a x en el grado dos
- ycos(y)(1-x2)0.5*y'=x2
- ycosy1-x20.5*y'=x2
- ycos(y)(1-x²)^0.5*y'=x²
- ycos(y)(1-x en el grado 2) en el grado 0.5*y'=x en el grado 2
- ycos(y)(1-x^2)^0.5y'=x^2
- ycos(y)(1-x2)0.5y'=x2
- ycosy1-x20.5y'=x2
- ycosy1-x^2^0.5y'=x^2
-
Expresiones semejantes
- ycos(y)(1+x^2)^0.5*y'=x^2
-
Expresiones con funciones
- ycos
- ycos^2x*dy+(1+y^2)dx=0
- ycos2xydxdy
- ycosx+sin2x=y'
- ycos(x)+sen(x)y'=0
Ecuación diferencial ycos(y)(1-x^2)^0.5*y'=x^2
El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉
⌨
Solución
Ha introducido
[src]
________
/ 2 d 2
\/ 1 - x *--(y(x))*cos(y(x))*y(x) = x
dx
$$\sqrt{1 - x^{2}} y{\left(x \right)} \cos{\left(y{\left(x \right)} \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = x^{2}$$
sqrt(1 - x^2)*y*cos(y)*y' = x^2
Solución detallada
Tenemos la ecuación:
$$\sqrt{1 - x^{2}} y{\left(x \right)} \cos{\left(y{\left(x \right)} \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = x^{2}$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = \sqrt{1 - x^{2}}$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = y{\left(x \right)} \cos{\left(y{\left(x \right)} \right)}$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = - x^{2}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = -1$$
Pasemos la ecuación a la forma:
Dividamos ambos miembros de la ecuación en f1(x)
$$\sqrt{1 - x^{2}}$$
obtendremos
$$y{\left(x \right)} \cos{\left(y{\left(x \right)} \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = \frac{x^{2}}{\sqrt{1 - x^{2}}}$$
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y)
$$-1$$
obtendremos
$$- y{\left(x \right)} \cos{\left(y{\left(x \right)} \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = - \frac{x^{2}}{\sqrt{1 - x^{2}}}$$
Con esto hemos separado las variables x y y.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$- dx y{\left(x \right)} \cos{\left(y{\left(x \right)} \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = - \frac{dx x^{2}}{\sqrt{1 - x^{2}}}$$
o
$$- dy y{\left(x \right)} \cos{\left(y{\left(x \right)} \right)} = - \frac{dx x^{2}}{\sqrt{1 - x^{2}}}$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \left(- y \cos{\left(y \right)}\right)\, dy = \int \left(- \frac{x^{2}}{\sqrt{1 - x^{2}}}\right)\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$- y \sin{\left(y \right)} - \cos{\left(y \right)} = Const + \frac{x \sqrt{1 - x^{2}}}{2} - \frac{\operatorname{asin}{\left(x \right)}}{2}$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{y_{1}} = \frac{x \sqrt{1 - x^{2}}}{2} + y{\left(x \right)} \sin{\left(y{\left(x \right)} \right)} + \cos{\left(y{\left(x \right)} \right)} - \frac{\operatorname{asin}{\left(x \right)}}{2} = C_{1}$$
$$\sqrt{1 - x^{2}} y{\left(x \right)} \cos{\left(y{\left(x \right)} \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = x^{2}$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
f1(x)*g1(y)*y' = f2(x)*g2(y),
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = \sqrt{1 - x^{2}}$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = y{\left(x \right)} \cos{\left(y{\left(x \right)} \right)}$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = - x^{2}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = -1$$
Pasemos la ecuación a la forma:
g1(y)/g2(y)*y'= f2(x)/f1(x).
Dividamos ambos miembros de la ecuación en f1(x)
$$\sqrt{1 - x^{2}}$$
obtendremos
$$y{\left(x \right)} \cos{\left(y{\left(x \right)} \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = \frac{x^{2}}{\sqrt{1 - x^{2}}}$$
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y)
$$-1$$
obtendremos
$$- y{\left(x \right)} \cos{\left(y{\left(x \right)} \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = - \frac{x^{2}}{\sqrt{1 - x^{2}}}$$
Con esto hemos separado las variables x y y.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$- dx y{\left(x \right)} \cos{\left(y{\left(x \right)} \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = - \frac{dx x^{2}}{\sqrt{1 - x^{2}}}$$
o
$$- dy y{\left(x \right)} \cos{\left(y{\left(x \right)} \right)} = - \frac{dx x^{2}}{\sqrt{1 - x^{2}}}$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \left(- y \cos{\left(y \right)}\right)\, dy = \int \left(- \frac{x^{2}}{\sqrt{1 - x^{2}}}\right)\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$- y \sin{\left(y \right)} - \cos{\left(y \right)} = Const + \frac{x \sqrt{1 - x^{2}}}{2} - \frac{\operatorname{asin}{\left(x \right)}}{2}$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{y_{1}} = \frac{x \sqrt{1 - x^{2}}}{2} + y{\left(x \right)} \sin{\left(y{\left(x \right)} \right)} + \cos{\left(y{\left(x \right)} \right)} - \frac{\operatorname{asin}{\left(x \right)}}{2} = C_{1}$$
Respuesta
[src]
________
/ 2
asin(x) x*\/ 1 - x
- ------- + sin(y(x))*y(x) + ------------- + cos(y(x)) = C1
2 2
$$\frac{x \sqrt{1 - x^{2}}}{2} + y{\left(x \right)} \sin{\left(y{\left(x \right)} \right)} + \cos{\left(y{\left(x \right)} \right)} - \frac{\operatorname{asin}{\left(x \right)}}{2} = C_{1}$$
Gráfico para el problema de Cauchy
Clasificación
separable
1st exact
1st power series
lie group
separable Integral
1st exact Integral
Respuesta numérica
[src]
(x, y):
(-10.0, 0.75)
(-7.777777777777778, nan)
(-5.555555555555555, nan)
(-3.333333333333333, nan)
(-1.1111111111111107, nan)
(1.1111111111111107, nan)
(3.333333333333334, nan)
(5.555555555555557, nan)
(7.777777777777779, nan)
(10.0, nan)
(10.0, nan)