Tenemos la ecuación:
$$\frac{d}{d x} y{\left(x \right)} - \frac{8 x + 2 y{\left(x \right)}}{- 3 x + 3 y{\left(x \right)}} = 0$$
Sustituimos
$$u{\left(x \right)} = \frac{y{\left(x \right)}}{x}$$
y porque
$$y{\left(x \right)} = x u{\left(x \right)}$$
entonces
$$\frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = x \frac{d}{d x} u{\left(x \right)} + u{\left(x \right)}$$
sustituimos
$$- \frac{2 x u{\left(x \right)}}{3 x u{\left(x \right)} - 3 x} - \frac{8 x}{3 x u{\left(x \right)} - 3 x} + \frac{d}{d x} x u{\left(x \right)} = 0$$
o
$$x \frac{d}{d x} u{\left(x \right)} - \frac{2 x u{\left(x \right)}}{3 x u{\left(x \right)} - 3 x} - \frac{8 x}{3 x u{\left(x \right)} - 3 x} + u{\left(x \right)} = 0$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
f1(x)*g1(u)*u' = f2(x)*g2(u),
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(u \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = - \frac{1}{x}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(u \right)} = - \frac{- 3 u^{2}{\left(x \right)} + 5 u{\left(x \right)} + 8}{3 \left(u{\left(x \right)} - 1\right)}$$
Pasemos la ecuación a la forma:
g1(u)/g2(u)*u'= f2(x)/f1(x).
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(u)
$$- \frac{- 3 u^{2}{\left(x \right)} + 5 u{\left(x \right)} + 8}{3 \left(u{\left(x \right)} - 1\right)}$$
obtendremos
$$\frac{3 \left(u{\left(x \right)} - 1\right) \frac{d}{d x} u{\left(x \right)}}{3 u^{2}{\left(x \right)} - 5 u{\left(x \right)} - 8} = - \frac{1}{x}$$
Con esto hemos separado las variables x y u.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$\frac{3 dx \left(u{\left(x \right)} - 1\right) \frac{d}{d x} u{\left(x \right)}}{3 u^{2}{\left(x \right)} - 5 u{\left(x \right)} - 8} = - \frac{dx}{x}$$
o
$$\frac{3 du \left(u{\left(x \right)} - 1\right)}{3 u^{2}{\left(x \right)} - 5 u{\left(x \right)} - 8} = - \frac{dx}{x}$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por u,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \frac{3 \left(u - 1\right)}{3 u^{2} - 5 u - 8}\, du = \int \left(- \frac{1}{x}\right)\, dx$$
Solución detallada de la integral con uSolución detallada de la integral con xTomemos estas integrales
$$\frac{5 \log{\left(u - \frac{8}{3} \right)}}{11} + \frac{6 \log{\left(u + 1 \right)}}{11} = Const - \log{\left(x \right)}$$
Solución detallada de una ecuación simpleHemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica u.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{u_{1}} = \frac{\log{\left(x \right)}}{3} + \frac{5 \log{\left(u{\left(x \right)} - \frac{8}{3} \right)}}{33} + \frac{2 \log{\left(u{\left(x \right)} + 1 \right)}}{11} = C_{1}$$
hacemos cambio inverso
$$y{\left(x \right)} = x u{\left(x \right)}$$
$$y1 = y(x) = C_{1} x$$