Ecuación diferencial y'=7e^(5x-3y)

Tenemos la ecuación:
$$- 7 e^{5 x - 3 y{\left(x \right)}} + \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = 0$$
Sustituimos
$$u{\left(x \right)} = 5 x - 3 y{\left(x \right)}$$
y porque
$$5 - 3 \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = \frac{d}{d x} u{\left(x \right)}$$
entonces
$$\frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = \frac{5}{3} - \frac{\frac{d}{d x} u{\left(x \right)}}{3}$$
sustituimos
$$- 7 e^{5 x} e^{- 5 x + u{\left(x \right)}} + \frac{d}{d x} \left(\frac{5 x}{3} - \frac{u{\left(x \right)}}{3}\right) = 0$$
o
$$- 7 e^{u{\left(x \right)}} - \frac{\frac{d}{d x} u{\left(x \right)}}{3} + \frac{5}{3} = 0$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:

f1(x)*g1(u)*u' = f2(x)*g2(u),

donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(u \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = -1$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(u \right)} = 21 e^{u{\left(x \right)}} - 5$$
Pasemos la ecuación a la forma:

g1(u)/g2(u)*u'= f2(x)/f1(x).

Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(u)
$$21 e^{u{\left(x \right)}} - 5$$
obtendremos
$$\frac{\frac{d}{d x} u{\left(x \right)}}{21 e^{u{\left(x \right)}} - 5} = -1$$
Con esto hemos separado las variables x y u.

Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$\frac{dx \frac{d}{d x} u{\left(x \right)}}{21 e^{u{\left(x \right)}} - 5} = - dx$$
o
$$\frac{du}{21 e^{u{\left(x \right)}} - 5} = - dx$$

Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por u,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \frac{1}{21 e^{u} - 5}\, du = \int \left(-1\right)\, dx$$
Solución detallada de la integral con u
Solución detallada de la integral con x
Tomemos estas integrales
$$- \frac{u}{5} + \frac{\log{\left(e^{u} - \frac{5}{21} \right)}}{5} = Const - x$$
Solución detallada de una ecuación simple
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica u.
(Const - es una constante)

La solución:
$$\operatorname{u_{1}} = x - \frac{u{\left(x \right)}}{5} + \frac{\log{\left(e^{u{\left(x \right)}} - \frac{5}{21} \right)}}{5} = C_{1}$$
hacemos cambio inverso
$$y{\left(x \right)} = \frac{5 x}{3} - \frac{u{\left(x \right)}}{3}$$
$$y1 = y(x) = - \frac{C_{1}}{3} + \frac{5 x}{3}$$