Sr Examen
Ecuación diferencial (1+x^2)y"-2xy'=0
El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉
⌨
Solución
Ha introducido
[src]
2
/ 2\ d d
\1 + x /*---(y(x)) - 2*x*--(y(x)) = 0
2 dx
dx
$$- 2 x \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + \left(x^{2} + 1\right) \frac{d^{2}}{d x^{2}} y{\left(x \right)} = 0$$
-2*x*y' + (x^2 + 1)*y'' = 0
Solución detallada
Tenemos la ecuación:
$$- 2 x \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + \left(x^{2} + 1\right) \frac{d^{2}}{d x^{2}} y{\left(x \right)} = 0$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y' \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = \frac{2 x}{x^{2} + 1}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y' \right)} = \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}$$
Pasemos la ecuación a la forma:
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y')
$$\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}$$
obtendremos
$$\frac{\frac{d^{2}}{d x^{2}} y{\left(x \right)}}{\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}} = \frac{2 x}{x^{2} + 1}$$
Con esto hemos separado las variables x y y'.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$\frac{dx \frac{d^{2}}{d x^{2}} y{\left(x \right)}}{\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}} = \frac{2 dx x}{x^{2} + 1}$$
o
$$\frac{dy'}{\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}} = \frac{2 dx x}{x^{2} + 1}$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y',
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \frac{1}{y'}\, dy' = \int \frac{2 x}{x^{2} + 1}\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$\log{\left(y' \right)} = Const + \log{\left(x^{2} + 1 \right)}$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y'.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{y'1} = \operatorname{y'}{\left(x \right)} = C_{1} \left(x^{2} + 1\right)$$
tomemos estas integrales
$$\operatorname{y_{1}} = \int \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}\, dx = \int C_{1} \left(x^{2} + 1\right)\, dx$$ =
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = \frac{C_{1} x^{3}}{3} + C_{1} x + C_{2}$$
$$- 2 x \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + \left(x^{2} + 1\right) \frac{d^{2}}{d x^{2}} y{\left(x \right)} = 0$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
f1(x)*g1(y')*y'' = f2(x)*g2(y'),
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y' \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = \frac{2 x}{x^{2} + 1}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y' \right)} = \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}$$
Pasemos la ecuación a la forma:
g1(y')/g2(y')*y''= f2(x)/f1(x).
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y')
$$\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}$$
obtendremos
$$\frac{\frac{d^{2}}{d x^{2}} y{\left(x \right)}}{\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}} = \frac{2 x}{x^{2} + 1}$$
Con esto hemos separado las variables x y y'.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$\frac{dx \frac{d^{2}}{d x^{2}} y{\left(x \right)}}{\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}} = \frac{2 dx x}{x^{2} + 1}$$
o
$$\frac{dy'}{\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}} = \frac{2 dx x}{x^{2} + 1}$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y',
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \frac{1}{y'}\, dy' = \int \frac{2 x}{x^{2} + 1}\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$\log{\left(y' \right)} = Const + \log{\left(x^{2} + 1 \right)}$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y'.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{y'1} = \operatorname{y'}{\left(x \right)} = C_{1} \left(x^{2} + 1\right)$$
tomemos estas integrales
$$\operatorname{y_{1}} = \int \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}\, dx = \int C_{1} \left(x^{2} + 1\right)\, dx$$ =
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = \frac{C_{1} x^{3}}{3} + C_{1} x + C_{2}$$
Respuesta
[src]
/ 2\
| x |
y(x) = C1 + C2*x*|1 + --|
\ 3 /
$$y{\left(x \right)} = C_{1} + C_{2} x \left(\frac{x^{2}}{3} + 1\right)$$
Clasificación
nth order reducible
2nd power series ordinary