Sr Examen
Ecuación diferencial xsinydy-cosxdx=0
El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉
⌨
Solución
Ha introducido
[src]
d
-cos(x) + x*--(y(x))*sin(y(x)) = 0
dx
$$x \sin{\left(y{\left(x \right)} \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)} = 0$$
x*sin(y)*y' - cos(x) = 0
Solución detallada
Tenemos la ecuación:
$$x \sin{\left(y{\left(x \right)} \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)} = 0$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = \frac{\cos{\left(x \right)}}{x}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = \frac{1}{\sin{\left(y{\left(x \right)} \right)}}$$
Pasemos la ecuación a la forma:
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y)
$$\frac{1}{\sin{\left(y{\left(x \right)} \right)}}$$
obtendremos
$$\sin{\left(y{\left(x \right)} \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = \frac{\cos{\left(x \right)}}{x}$$
Con esto hemos separado las variables x y y.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$dx \sin{\left(y{\left(x \right)} \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = \frac{dx \cos{\left(x \right)}}{x}$$
o
$$dy \sin{\left(y{\left(x \right)} \right)} = \frac{dx \cos{\left(x \right)}}{x}$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \sin{\left(y \right)}\, dy = \int \frac{\cos{\left(x \right)}}{x}\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$- \cos{\left(y \right)} = Const - \log{\left(x \right)} + \frac{\log{\left(x^{2} \right)}}{2} + \operatorname{Ci}{\left(x \right)}$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = - \operatorname{acos}{\left(C_{1} + \log{\left(x \right)} - \frac{\log{\left(x^{2} \right)}}{2} - \operatorname{Ci}{\left(x \right)} \right)} + 2 \pi$$
$$\operatorname{y_{2}} = y{\left(x \right)} = \operatorname{acos}{\left(C_{1} + \log{\left(x \right)} - \frac{\log{\left(x^{2} \right)}}{2} - \operatorname{Ci}{\left(x \right)} \right)}$$
$$x \sin{\left(y{\left(x \right)} \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)} = 0$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
f1(x)*g1(y)*y' = f2(x)*g2(y),
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = \frac{\cos{\left(x \right)}}{x}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = \frac{1}{\sin{\left(y{\left(x \right)} \right)}}$$
Pasemos la ecuación a la forma:
g1(y)/g2(y)*y'= f2(x)/f1(x).
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y)
$$\frac{1}{\sin{\left(y{\left(x \right)} \right)}}$$
obtendremos
$$\sin{\left(y{\left(x \right)} \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = \frac{\cos{\left(x \right)}}{x}$$
Con esto hemos separado las variables x y y.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$dx \sin{\left(y{\left(x \right)} \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = \frac{dx \cos{\left(x \right)}}{x}$$
o
$$dy \sin{\left(y{\left(x \right)} \right)} = \frac{dx \cos{\left(x \right)}}{x}$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \sin{\left(y \right)}\, dy = \int \frac{\cos{\left(x \right)}}{x}\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$- \cos{\left(y \right)} = Const - \log{\left(x \right)} + \frac{\log{\left(x^{2} \right)}}{2} + \operatorname{Ci}{\left(x \right)}$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = - \operatorname{acos}{\left(C_{1} + \log{\left(x \right)} - \frac{\log{\left(x^{2} \right)}}{2} - \operatorname{Ci}{\left(x \right)} \right)} + 2 \pi$$
$$\operatorname{y_{2}} = y{\left(x \right)} = \operatorname{acos}{\left(C_{1} + \log{\left(x \right)} - \frac{\log{\left(x^{2} \right)}}{2} - \operatorname{Ci}{\left(x \right)} \right)}$$
Respuesta
[src]
/ / 2\ \
| log\x / |
y(x) = - acos|C1 - Ci(x) - ------- + log(x)| + 2*pi
\ 2 /
$$y{\left(x \right)} = - \operatorname{acos}{\left(C_{1} + \log{\left(x \right)} - \frac{\log{\left(x^{2} \right)}}{2} - \operatorname{Ci}{\left(x \right)} \right)} + 2 \pi$$
/ / 2\ \
| log\x / |
y(x) = acos|C1 - Ci(x) - ------- + log(x)|
\ 2 /
$$y{\left(x \right)} = \operatorname{acos}{\left(C_{1} + \log{\left(x \right)} - \frac{\log{\left(x^{2} \right)}}{2} - \operatorname{Ci}{\left(x \right)} \right)}$$
Gráfico para el problema de Cauchy
Clasificación
separable
1st exact
lie group
separable Integral
1st exact Integral
Respuesta numérica
[src]
(x, y):
(-10.0, 0.75)
(-7.777777777777778, 0.9729882154416146)
(-5.555555555555555, 0.6076885367305362)
(-3.333333333333333, 0.8346321135698802)
(-1.1111111111111107, 1.269403806987965)
(1.1111111111111107, -9.003861211314312e-10)
(3.333333333333334, 3.1933833808213433e-248)
(5.555555555555557, 4.1259321722598064e-61)
(7.777777777777779, 8.388243571811431e+296)
(10.0, 3.861029683e-315)
(10.0, 3.861029683e-315)