Sr Examen
Ecuación diferencial (e^y)(3x^2-6x+1)y'=(x-1)(e^y+7)
El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉
⌨
Solución
Ha introducido
[src]
/ 2\ d y(x) / y(x)\
\1 - 6*x + 3*x /*--(y(x))*e = (-1 + x)*\7 + e /
dx
$$\left(3 x^{2} - 6 x + 1\right) e^{y{\left(x \right)}} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = \left(x - 1\right) \left(e^{y{\left(x \right)}} + 7\right)$$
(3*x^2 - 6*x + 1)*exp(y)*y' = (x - 1)*(exp(y) + 7)
Solución detallada
Tenemos la ecuación:
$$\left(3 x^{2} - 6 x + 1\right) e^{y{\left(x \right)}} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = \left(x - 1\right) \left(e^{y{\left(x \right)}} + 7\right)$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 3 x^{2} - 6 x + 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = e^{y{\left(x \right)}}$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = x - 1$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = e^{y{\left(x \right)}} + 7$$
Pasemos la ecuación a la forma:
Dividamos ambos miembros de la ecuación en f1(x)
$$3 x^{2} - 6 x + 1$$
obtendremos
$$e^{y{\left(x \right)}} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = \frac{\left(x - 1\right) \left(e^{y{\left(x \right)}} + 7\right)}{3 x^{2} - 6 x + 1}$$
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y)
$$e^{y{\left(x \right)}} + 7$$
obtendremos
$$\frac{e^{y{\left(x \right)}} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{e^{y{\left(x \right)}} + 7} = \frac{x - 1}{3 x^{2} - 6 x + 1}$$
Con esto hemos separado las variables x y y.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$\frac{dx e^{y{\left(x \right)}} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{e^{y{\left(x \right)}} + 7} = \frac{dx \left(x - 1\right)}{3 x^{2} - 6 x + 1}$$
o
$$\frac{dy e^{y{\left(x \right)}}}{e^{y{\left(x \right)}} + 7} = \frac{dx \left(x - 1\right)}{3 x^{2} - 6 x + 1}$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \frac{e^{y}}{e^{y} + 7}\, dy = \int \frac{x - 1}{3 x^{2} - 6 x + 1}\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$\log{\left(e^{y} + 7 \right)} = Const + \frac{\log{\left(3 x^{2} - 6 x + 1 \right)}}{6}$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = \log{\left(C_{1} \sqrt[6]{3 x^{2} - 6 x + 1} - 7 \right)}$$
$$\left(3 x^{2} - 6 x + 1\right) e^{y{\left(x \right)}} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = \left(x - 1\right) \left(e^{y{\left(x \right)}} + 7\right)$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
f1(x)*g1(y)*y' = f2(x)*g2(y),
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 3 x^{2} - 6 x + 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = e^{y{\left(x \right)}}$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = x - 1$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = e^{y{\left(x \right)}} + 7$$
Pasemos la ecuación a la forma:
g1(y)/g2(y)*y'= f2(x)/f1(x).
Dividamos ambos miembros de la ecuación en f1(x)
$$3 x^{2} - 6 x + 1$$
obtendremos
$$e^{y{\left(x \right)}} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = \frac{\left(x - 1\right) \left(e^{y{\left(x \right)}} + 7\right)}{3 x^{2} - 6 x + 1}$$
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y)
$$e^{y{\left(x \right)}} + 7$$
obtendremos
$$\frac{e^{y{\left(x \right)}} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{e^{y{\left(x \right)}} + 7} = \frac{x - 1}{3 x^{2} - 6 x + 1}$$
Con esto hemos separado las variables x y y.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$\frac{dx e^{y{\left(x \right)}} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{e^{y{\left(x \right)}} + 7} = \frac{dx \left(x - 1\right)}{3 x^{2} - 6 x + 1}$$
o
$$\frac{dy e^{y{\left(x \right)}}}{e^{y{\left(x \right)}} + 7} = \frac{dx \left(x - 1\right)}{3 x^{2} - 6 x + 1}$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \frac{e^{y}}{e^{y} + 7}\, dy = \int \frac{x - 1}{3 x^{2} - 6 x + 1}\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$\log{\left(e^{y} + 7 \right)} = Const + \frac{\log{\left(3 x^{2} - 6 x + 1 \right)}}{6}$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = \log{\left(C_{1} \sqrt[6]{3 x^{2} - 6 x + 1} - 7 \right)}$$
Respuesta
[src]
/ ________________\
| 6 / 2 |
y(x) = log\-7 + C1*\/ 1 - 6*x + 3*x /
$$y{\left(x \right)} = \log{\left(C_{1} \sqrt[6]{3 x^{2} - 6 x + 1} - 7 \right)}$$
Clasificación
separable
1st exact
almost linear
1st power series
lie group
separable Integral
1st exact Integral
almost linear Integral