Ecuación diferencial y'=-(4*x+3*y+15)/(2*x+y+7)

Tenemos la ecuación:
$$- \frac{- 4 x - 3 y{\left(x \right)} - 15}{2 x + y{\left(x \right)} + 7} + \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = 0$$
Sustituimos
$$u{\left(x \right)} = \frac{y{\left(x \right)} + 1}{x + 3}$$
y porque
$$y{\left(x \right)} = \left(x + 3\right) u{\left(x \right)} - 1$$
entonces
$$\frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = \left(x + 3\right) \frac{d}{d x} u{\left(x \right)} + u{\left(x \right)}$$
sustituimos
$$\frac{4 x}{2 x + \left(x + 3\right) u{\left(x \right)} + 6} + \left(x + 3\right) \frac{d}{d x} u{\left(x \right)} + \frac{3 \left(\left(x + 3\right) u{\left(x \right)} - 1\right)}{2 x + \left(x + 3\right) u{\left(x \right)} + 6} + u{\left(x \right)} + \frac{15}{2 x + \left(x + 3\right) u{\left(x \right)} + 6} = 0$$
o
$$\left(x + 3\right) \frac{d}{d x} u{\left(x \right)} + \frac{u^{2}{\left(x \right)} + 5 u{\left(x \right)} + 4}{u{\left(x \right)} + 2} = 0$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:

f1(x)*g1(u)*u' = f2(x)*g2(u),

donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = x + 3$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(u \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = -1$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(u \right)} = \frac{u^{2}{\left(x \right)} + 5 u{\left(x \right)} + 4}{u{\left(x \right)} + 2}$$
Pasemos la ecuación a la forma:

g1(u)/g2(u)*u'= f2(x)/f1(x).

Dividamos ambos miembros de la ecuación en f1(x)
$$x + 3$$
obtendremos
$$\frac{d}{d x} u{\left(x \right)} = - \frac{u^{2}{\left(x \right)} + 5 u{\left(x \right)} + 4}{\left(x + 3\right) \left(u{\left(x \right)} + 2\right)}$$
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(u)
$$\frac{u^{2}{\left(x \right)} + 5 u{\left(x \right)} + 4}{u{\left(x \right)} + 2}$$
obtendremos
$$\frac{\left(u{\left(x \right)} + 2\right) \frac{d}{d x} u{\left(x \right)}}{u^{2}{\left(x \right)} + 5 u{\left(x \right)} + 4} = - \frac{1}{x + 3}$$
Con esto hemos separado las variables x y u.

Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$\frac{dx \left(u{\left(x \right)} + 2\right) \frac{d}{d x} u{\left(x \right)}}{u^{2}{\left(x \right)} + 5 u{\left(x \right)} + 4} = - \frac{dx}{x + 3}$$
o
$$\frac{du \left(u{\left(x \right)} + 2\right)}{u^{2}{\left(x \right)} + 5 u{\left(x \right)} + 4} = - \frac{dx}{x + 3}$$

Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por u,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \frac{u + 2}{u^{2} + 5 u + 4}\, du = \int \left(- \frac{1}{x + 3}\right)\, dx$$
Solución detallada de la integral con u
Solución detallada de la integral con x
Tomemos estas integrales
$$\frac{\log{\left(u + 1 \right)}}{3} + \frac{2 \log{\left(u + 4 \right)}}{3} = Const - \log{\left(x + 3 \right)}$$
Solución detallada de una ecuación simple
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica u.
(Const - es una constante)

hacemos cambio inverso
$$u{\left(x \right)} = \frac{y{\left(x \right)} + 1}{x + 3}$$
$$\frac{\log{\left(1 + \frac{y{\left(x \right)} + 1}{x + 3} \right)}}{3} + \frac{2 \log{\left(4 + \frac{y{\left(x \right)} + 1}{x + 3} \right)}}{3} = Const - \log{\left(x + 3 \right)}$$