Sr Examen
Ecuación diferencial ctgyydx-x*lnxdy=0
El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉
⌨
Solución
Ha introducido
[src]
d
cot(y(x))*y(x) - x*--(y(x))*log(x) = 0
dx
$$- x \log{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + y{\left(x \right)} \cot{\left(y{\left(x \right)} \right)} = 0$$
-x*log(x)*y' + y*cot(y) = 0
Solución detallada
Tenemos la ecuación:
$$- x \log{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + y{\left(x \right)} \cot{\left(y{\left(x \right)} \right)} = 0$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = x \log{\left(x \right)}$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = -1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = -1$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = y{\left(x \right)} \cot{\left(y{\left(x \right)} \right)}$$
Pasemos la ecuación a la forma:
Dividamos ambos miembros de la ecuación en f1(x)
$$x \log{\left(x \right)}$$
obtendremos
$$- \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = - \frac{y{\left(x \right)} \cot{\left(y{\left(x \right)} \right)}}{x \log{\left(x \right)}}$$
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y)
$$y{\left(x \right)} \cot{\left(y{\left(x \right)} \right)}$$
obtendremos
$$- \frac{\tan{\left(y{\left(x \right)} \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{y{\left(x \right)}} = - \frac{1}{x \log{\left(x \right)}}$$
Con esto hemos separado las variables x y y.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$- \frac{dx \tan{\left(y{\left(x \right)} \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{y{\left(x \right)}} = - \frac{dx}{x \log{\left(x \right)}}$$
o
$$- \frac{dy \tan{\left(y{\left(x \right)} \right)}}{y{\left(x \right)}} = - \frac{dx}{x \log{\left(x \right)}}$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \left(- \frac{\tan{\left(y \right)}}{y}\right)\, dy = \int \left(- \frac{1}{x \log{\left(x \right)}}\right)\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$- \int \frac{\tan{\left(y \right)}}{y}\, dy = Const - \log{\left(\log{\left(x \right)} \right)}$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{y_{1}} = \int\limits^{y{\left(x \right)}} \frac{1}{y \cot{\left(y \right)}}\, dy = C_{1} + \log{\left(\log{\left(x \right)} \right)}$$
$$- x \log{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + y{\left(x \right)} \cot{\left(y{\left(x \right)} \right)} = 0$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
f1(x)*g1(y)*y' = f2(x)*g2(y),
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = x \log{\left(x \right)}$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = -1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = -1$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = y{\left(x \right)} \cot{\left(y{\left(x \right)} \right)}$$
Pasemos la ecuación a la forma:
g1(y)/g2(y)*y'= f2(x)/f1(x).
Dividamos ambos miembros de la ecuación en f1(x)
$$x \log{\left(x \right)}$$
obtendremos
$$- \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = - \frac{y{\left(x \right)} \cot{\left(y{\left(x \right)} \right)}}{x \log{\left(x \right)}}$$
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y)
$$y{\left(x \right)} \cot{\left(y{\left(x \right)} \right)}$$
obtendremos
$$- \frac{\tan{\left(y{\left(x \right)} \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{y{\left(x \right)}} = - \frac{1}{x \log{\left(x \right)}}$$
Con esto hemos separado las variables x y y.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$- \frac{dx \tan{\left(y{\left(x \right)} \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{y{\left(x \right)}} = - \frac{dx}{x \log{\left(x \right)}}$$
o
$$- \frac{dy \tan{\left(y{\left(x \right)} \right)}}{y{\left(x \right)}} = - \frac{dx}{x \log{\left(x \right)}}$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \left(- \frac{\tan{\left(y \right)}}{y}\right)\, dy = \int \left(- \frac{1}{x \log{\left(x \right)}}\right)\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$- \int \frac{\tan{\left(y \right)}}{y}\, dy = Const - \log{\left(\log{\left(x \right)} \right)}$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{y_{1}} = \int\limits^{y{\left(x \right)}} \frac{1}{y \cot{\left(y \right)}}\, dy = C_{1} + \log{\left(\log{\left(x \right)} \right)}$$
Respuesta
[src]
y(x)
/
|
| 1
| -------- dy = C1 + log(log(x))
| y*cot(y)
|
/
$$\int\limits^{y{\left(x \right)}} \frac{1}{y \cot{\left(y \right)}}\, dy = C_{1} + \log{\left(\log{\left(x \right)} \right)}$$
Gráfico para el problema de Cauchy
Clasificación
factorable
separable
lie group
separable Integral
Respuesta numérica
[src]
(x, y):
(-10.0, 0.75)
(-7.777777777777778, nan)
(-5.555555555555555, nan)
(-3.333333333333333, nan)
(-1.1111111111111107, nan)
(1.1111111111111107, nan)
(3.333333333333334, nan)
(5.555555555555557, nan)
(7.777777777777779, nan)
(10.0, nan)
(10.0, nan)