Sr Examen
Ecuación diferencial y''+y'+9y=10sinx-5cosx
El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉
⌨
Solución
Ha introducido
[src]
2
d d
9*y(x) + --(y(x)) + ---(y(x)) = -5*cos(x) + 10*sin(x)
dx 2
dx
$$9 y{\left(x \right)} + \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + \frac{d^{2}}{d x^{2}} y{\left(x \right)} = 10 \sin{\left(x \right)} - 5 \cos{\left(x \right)}$$
9*y + y' + y'' = 10*sin(x) - 5*cos(x)
Solución detallada
Tenemos la ecuación:
$$9 y{\left(x \right)} + \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + \frac{d^{2}}{d x^{2}} y{\left(x \right)} = 10 \sin{\left(x \right)} - 5 \cos{\left(x \right)}$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
donde
$$p = 1$$
$$q = 9$$
$$s = - 10 \sin{\left(x \right)} + 5 \cos{\left(x \right)}$$
Se llama lineal heterogénea
ecuación diferencial de 2 orden con factores constantes.
No hay mucha dificultad en la resolución de esta ecuación
Primero resolvamos la ecuación lineal homogénea correspondiente
Primero hallemos las raíces de la ecuación característica
$$q + \left(k^{2} + k p\right) = 0$$
En nuestro caso la ecuación característica va a tener la forma:
$$k^{2} + k + 9 = 0$$
Solución detallada de una ecuación simple
- es una ecuación cuadrática simple
Raíces de esta ecuación:
$$k_{1} = - \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{35} i}{2}$$
$$k_{2} = - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{35} i}{2}$$
Como la ecuación característica tiene dos raíces,
la solución de la ecuación diferencial correspondiente tiene la forma:
$$y{\left(x \right)} = e^{k_{1} x} C_{1} + e^{k_{2} x} C_{2}$$
$$y{\left(x \right)} = C_{1} e^{x \left(- \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{35} i}{2}\right)} + C_{2} e^{x \left(- \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{35} i}{2}\right)}$$
Hemos encontrado la solución de la ecuación homogénea correspondiente
Ahora hay que resolver nuestra ecuación heterogénea
Usamos el método de variación de la constante arbitraria
Consideremos que C1 y C2 son funciones de x
Y la solución general será:
$$y{\left(x \right)} = \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} e^{x \left(- \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{35} i}{2}\right)} + \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} e^{x \left(- \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{35} i}{2}\right)}$$
donde C1(x) y C2(x)
según el método de variación de constantes hallemos del sistema:
$$\operatorname{y_{1}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} + \operatorname{y_{2}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = 0$$
$$\frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{y_{1}}{\left(x \right)} + \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{y_{2}}{\left(x \right)} = f{\left(x \right)}$$
donde
y1(x) y y2(x) son soluciones parciales linealmente independientes de la ecuación diferencial lineal homogénea,
y1(x) = exp(x*(-1/2 - sqrt(35)*i/2)) (C1=1, C2=0),
y2(x) = exp(x*(-1/2 + sqrt(35)*i/2)) (C1=0, C2=1).
A es un término independiente f = - s, o
$$f{\left(x \right)} = 10 \sin{\left(x \right)} - 5 \cos{\left(x \right)}$$
Es decir, el sistema tendrá la forma:
$$e^{x \left(- \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{35} i}{2}\right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} + e^{x \left(- \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{35} i}{2}\right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = 0$$
$$\frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} e^{x \left(- \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{35} i}{2}\right)} + \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} e^{x \left(- \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{35} i}{2}\right)} = 10 \sin{\left(x \right)} - 5 \cos{\left(x \right)}$$
o
$$e^{x \left(- \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{35} i}{2}\right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} + e^{x \left(- \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{35} i}{2}\right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = 0$$
$$\left(- \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{35} i}{2}\right) e^{x \left(- \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{35} i}{2}\right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} + \left(- \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{35} i}{2}\right) e^{x \left(- \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{35} i}{2}\right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = 10 \sin{\left(x \right)} - 5 \cos{\left(x \right)}$$
Resolvamos este sistema:
$$\frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} = \frac{\sqrt{35} i \left(2 \sin{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)}\right) e^{\frac{x \left(1 + \sqrt{35} i\right)}{2}}}{7}$$
$$\frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = \frac{\sqrt{35} i \left(- 2 \sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}\right) e^{\frac{x \left(1 - \sqrt{35} i\right)}{2}}}{7}$$
- son ecuaciones diferenciales simples, resolvámoslas
$$\operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} = C_{3} + \int \frac{\sqrt{35} i \left(2 \sin{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)}\right) e^{\frac{x \left(1 + \sqrt{35} i\right)}{2}}}{7}\, dx$$
$$\operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = C_{4} + \int \frac{\sqrt{35} i \left(- 2 \sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}\right) e^{\frac{x \left(1 - \sqrt{35} i\right)}{2}}}{7}\, dx$$
o
$$\operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} = C_{3} + \frac{\sqrt{35} i \left(\frac{2 \sqrt{35} i e^{\frac{x}{2}} e^{\frac{\sqrt{35} i x}{2}} \sin{\left(x \right)}}{-15 + \sqrt{35} i} - \frac{5 e^{\frac{x}{2}} e^{\frac{\sqrt{35} i x}{2}} \cos{\left(x \right)}}{-15 + \sqrt{35} i} - \frac{\sqrt{35} i e^{\frac{x}{2}} e^{\frac{\sqrt{35} i x}{2}} \cos{\left(x \right)}}{-15 + \sqrt{35} i}\right)}{7}$$
$$\operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = C_{4} + \frac{\sqrt{35} i \left(\frac{35 e^{\frac{x}{2}} \sin{\left(x \right)}}{110 e^{\frac{\sqrt{35} i x}{2}} + 16 \sqrt{35} i e^{\frac{\sqrt{35} i x}{2}}} - \frac{17 \sqrt{35} i e^{\frac{x}{2}} \sin{\left(x \right)}}{110 e^{\frac{\sqrt{35} i x}{2}} + 16 \sqrt{35} i e^{\frac{\sqrt{35} i x}{2}}} - \frac{60 e^{\frac{x}{2}} \cos{\left(x \right)}}{110 e^{\frac{\sqrt{35} i x}{2}} + 16 \sqrt{35} i e^{\frac{\sqrt{35} i x}{2}}} + \frac{6 \sqrt{35} i e^{\frac{x}{2}} \cos{\left(x \right)}}{110 e^{\frac{\sqrt{35} i x}{2}} + 16 \sqrt{35} i e^{\frac{\sqrt{35} i x}{2}}}\right)}{7}$$
Sustituyamos C1(x) y C2(x) hallados en
$$y{\left(x \right)} = \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} e^{x \left(- \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{35} i}{2}\right)} + \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} e^{x \left(- \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{35} i}{2}\right)}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$y{\left(x \right)} = C_{3} e^{- \frac{x}{2}} e^{- \frac{\sqrt{35} i x}{2}} + C_{4} e^{- \frac{x}{2}} e^{\frac{\sqrt{35} i x}{2}} - \frac{10 \sin{\left(x \right)}}{-15 + \sqrt{35} i} + \frac{5 \cos{\left(x \right)}}{-15 + \sqrt{35} i} - \frac{5 \sqrt{35} i \cos{\left(x \right)}}{7 \left(-15 + \sqrt{35} i\right)} + \frac{85 e^{\frac{\sqrt{35} i x}{2}} \sin{\left(x \right)}}{110 e^{\frac{\sqrt{35} i x}{2}} + 16 \sqrt{35} i e^{\frac{\sqrt{35} i x}{2}}} + \frac{5 \sqrt{35} i e^{\frac{\sqrt{35} i x}{2}} \sin{\left(x \right)}}{110 e^{\frac{\sqrt{35} i x}{2}} + 16 \sqrt{35} i e^{\frac{\sqrt{35} i x}{2}}} - \frac{30 e^{\frac{\sqrt{35} i x}{2}} \cos{\left(x \right)}}{110 e^{\frac{\sqrt{35} i x}{2}} + 16 \sqrt{35} i e^{\frac{\sqrt{35} i x}{2}}} - \frac{60 \sqrt{35} i e^{\frac{\sqrt{35} i x}{2}} \cos{\left(x \right)}}{7 \left(110 e^{\frac{\sqrt{35} i x}{2}} + 16 \sqrt{35} i e^{\frac{\sqrt{35} i x}{2}}\right)}$$
donde C3 y C4 hay son constantes
$$9 y{\left(x \right)} + \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + \frac{d^{2}}{d x^{2}} y{\left(x \right)} = 10 \sin{\left(x \right)} - 5 \cos{\left(x \right)}$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
y'' + p*y' + q*y = s,
donde
$$p = 1$$
$$q = 9$$
$$s = - 10 \sin{\left(x \right)} + 5 \cos{\left(x \right)}$$
Se llama lineal heterogénea
ecuación diferencial de 2 orden con factores constantes.
No hay mucha dificultad en la resolución de esta ecuación
Primero resolvamos la ecuación lineal homogénea correspondiente
y'' + p*y' + q*y = 0
Primero hallemos las raíces de la ecuación característica
$$q + \left(k^{2} + k p\right) = 0$$
En nuestro caso la ecuación característica va a tener la forma:
$$k^{2} + k + 9 = 0$$
Solución detallada de una ecuación simple
- es una ecuación cuadrática simple
Raíces de esta ecuación:
$$k_{1} = - \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{35} i}{2}$$
$$k_{2} = - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{35} i}{2}$$
Como la ecuación característica tiene dos raíces,
la solución de la ecuación diferencial correspondiente tiene la forma:
$$y{\left(x \right)} = e^{k_{1} x} C_{1} + e^{k_{2} x} C_{2}$$
$$y{\left(x \right)} = C_{1} e^{x \left(- \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{35} i}{2}\right)} + C_{2} e^{x \left(- \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{35} i}{2}\right)}$$
Hemos encontrado la solución de la ecuación homogénea correspondiente
Ahora hay que resolver nuestra ecuación heterogénea
y'' + p*y' + q*y = s
Usamos el método de variación de la constante arbitraria
Consideremos que C1 y C2 son funciones de x
Y la solución general será:
$$y{\left(x \right)} = \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} e^{x \left(- \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{35} i}{2}\right)} + \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} e^{x \left(- \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{35} i}{2}\right)}$$
donde C1(x) y C2(x)
según el método de variación de constantes hallemos del sistema:
$$\operatorname{y_{1}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} + \operatorname{y_{2}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = 0$$
$$\frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{y_{1}}{\left(x \right)} + \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{y_{2}}{\left(x \right)} = f{\left(x \right)}$$
donde
y1(x) y y2(x) son soluciones parciales linealmente independientes de la ecuación diferencial lineal homogénea,
y1(x) = exp(x*(-1/2 - sqrt(35)*i/2)) (C1=1, C2=0),
y2(x) = exp(x*(-1/2 + sqrt(35)*i/2)) (C1=0, C2=1).
A es un término independiente f = - s, o
$$f{\left(x \right)} = 10 \sin{\left(x \right)} - 5 \cos{\left(x \right)}$$
Es decir, el sistema tendrá la forma:
$$e^{x \left(- \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{35} i}{2}\right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} + e^{x \left(- \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{35} i}{2}\right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = 0$$
$$\frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} e^{x \left(- \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{35} i}{2}\right)} + \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} e^{x \left(- \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{35} i}{2}\right)} = 10 \sin{\left(x \right)} - 5 \cos{\left(x \right)}$$
o
$$e^{x \left(- \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{35} i}{2}\right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} + e^{x \left(- \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{35} i}{2}\right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = 0$$
$$\left(- \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{35} i}{2}\right) e^{x \left(- \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{35} i}{2}\right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} + \left(- \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{35} i}{2}\right) e^{x \left(- \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{35} i}{2}\right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = 10 \sin{\left(x \right)} - 5 \cos{\left(x \right)}$$
Resolvamos este sistema:
$$\frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} = \frac{\sqrt{35} i \left(2 \sin{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)}\right) e^{\frac{x \left(1 + \sqrt{35} i\right)}{2}}}{7}$$
$$\frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = \frac{\sqrt{35} i \left(- 2 \sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}\right) e^{\frac{x \left(1 - \sqrt{35} i\right)}{2}}}{7}$$
- son ecuaciones diferenciales simples, resolvámoslas
$$\operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} = C_{3} + \int \frac{\sqrt{35} i \left(2 \sin{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)}\right) e^{\frac{x \left(1 + \sqrt{35} i\right)}{2}}}{7}\, dx$$
$$\operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = C_{4} + \int \frac{\sqrt{35} i \left(- 2 \sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}\right) e^{\frac{x \left(1 - \sqrt{35} i\right)}{2}}}{7}\, dx$$
o
$$\operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} = C_{3} + \frac{\sqrt{35} i \left(\frac{2 \sqrt{35} i e^{\frac{x}{2}} e^{\frac{\sqrt{35} i x}{2}} \sin{\left(x \right)}}{-15 + \sqrt{35} i} - \frac{5 e^{\frac{x}{2}} e^{\frac{\sqrt{35} i x}{2}} \cos{\left(x \right)}}{-15 + \sqrt{35} i} - \frac{\sqrt{35} i e^{\frac{x}{2}} e^{\frac{\sqrt{35} i x}{2}} \cos{\left(x \right)}}{-15 + \sqrt{35} i}\right)}{7}$$
$$\operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = C_{4} + \frac{\sqrt{35} i \left(\frac{35 e^{\frac{x}{2}} \sin{\left(x \right)}}{110 e^{\frac{\sqrt{35} i x}{2}} + 16 \sqrt{35} i e^{\frac{\sqrt{35} i x}{2}}} - \frac{17 \sqrt{35} i e^{\frac{x}{2}} \sin{\left(x \right)}}{110 e^{\frac{\sqrt{35} i x}{2}} + 16 \sqrt{35} i e^{\frac{\sqrt{35} i x}{2}}} - \frac{60 e^{\frac{x}{2}} \cos{\left(x \right)}}{110 e^{\frac{\sqrt{35} i x}{2}} + 16 \sqrt{35} i e^{\frac{\sqrt{35} i x}{2}}} + \frac{6 \sqrt{35} i e^{\frac{x}{2}} \cos{\left(x \right)}}{110 e^{\frac{\sqrt{35} i x}{2}} + 16 \sqrt{35} i e^{\frac{\sqrt{35} i x}{2}}}\right)}{7}$$
Sustituyamos C1(x) y C2(x) hallados en
$$y{\left(x \right)} = \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} e^{x \left(- \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{35} i}{2}\right)} + \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} e^{x \left(- \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{35} i}{2}\right)}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$y{\left(x \right)} = C_{3} e^{- \frac{x}{2}} e^{- \frac{\sqrt{35} i x}{2}} + C_{4} e^{- \frac{x}{2}} e^{\frac{\sqrt{35} i x}{2}} - \frac{10 \sin{\left(x \right)}}{-15 + \sqrt{35} i} + \frac{5 \cos{\left(x \right)}}{-15 + \sqrt{35} i} - \frac{5 \sqrt{35} i \cos{\left(x \right)}}{7 \left(-15 + \sqrt{35} i\right)} + \frac{85 e^{\frac{\sqrt{35} i x}{2}} \sin{\left(x \right)}}{110 e^{\frac{\sqrt{35} i x}{2}} + 16 \sqrt{35} i e^{\frac{\sqrt{35} i x}{2}}} + \frac{5 \sqrt{35} i e^{\frac{\sqrt{35} i x}{2}} \sin{\left(x \right)}}{110 e^{\frac{\sqrt{35} i x}{2}} + 16 \sqrt{35} i e^{\frac{\sqrt{35} i x}{2}}} - \frac{30 e^{\frac{\sqrt{35} i x}{2}} \cos{\left(x \right)}}{110 e^{\frac{\sqrt{35} i x}{2}} + 16 \sqrt{35} i e^{\frac{\sqrt{35} i x}{2}}} - \frac{60 \sqrt{35} i e^{\frac{\sqrt{35} i x}{2}} \cos{\left(x \right)}}{7 \left(110 e^{\frac{\sqrt{35} i x}{2}} + 16 \sqrt{35} i e^{\frac{\sqrt{35} i x}{2}}\right)}$$
donde C3 y C4 hay son constantes
Respuesta
[src]
-x
/ / ____\ / ____\\ ---
10*cos(x) 15*sin(x) | |x*\/ 35 | |x*\/ 35 || 2
y(x) = - --------- + --------- + |C1*sin|--------| + C2*cos|--------||*e
13 13 \ \ 2 / \ 2 //
$$y{\left(x \right)} = \left(C_{1} \sin{\left(\frac{\sqrt{35} x}{2} \right)} + C_{2} \cos{\left(\frac{\sqrt{35} x}{2} \right)}\right) e^{- \frac{x}{2}} + \frac{15 \sin{\left(x \right)}}{13} - \frac{10 \cos{\left(x \right)}}{13}$$
Clasificación
nth linear constant coeff undetermined coefficients
nth linear constant coeff variation of parameters
nth linear constant coeff variation of parameters Integral