Sr Examen

Ecuación diferencial excosydx+ctgydy=0

El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉

v

Para el problema de Cauchy:

y() =
y'() =
y''() =
y'''() =
y''''() =

Gráfico:

interior superior

Solución

Ha introducido [src]
d                               x    
--(y(x))*cot(y(x)) + cos(y(x))*e  = 0
dx                                   
$$e^{x} \cos{\left(y{\left(x \right)} \right)} + \cot{\left(y{\left(x \right)} \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = 0$$
exp(x)*cos(y) + cot(y)*y' = 0
Solución detallada
Tenemos la ecuación:
$$e^{x} \cos{\left(y{\left(x \right)} \right)} + \cot{\left(y{\left(x \right)} \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = 0$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
f1(x)*g1(y)*y' = f2(x)*g2(y),

donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = - e^{x}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = \sin{\left(y{\left(x \right)} \right)}$$
Pasemos la ecuación a la forma:
g1(y)/g2(y)*y'= f2(x)/f1(x).

Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y)
$$\sin{\left(y{\left(x \right)} \right)}$$
obtendremos
$$\frac{\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{\sin{\left(y{\left(x \right)} \right)}} = - e^{x}$$
Con esto hemos separado las variables x y y.

Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$\frac{dx \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{\sin{\left(y{\left(x \right)} \right)}} = - dx e^{x}$$
o
$$\frac{dy}{\sin{\left(y{\left(x \right)} \right)}} = - dx e^{x}$$

Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \frac{1}{\sin{\left(y \right)}}\, dy = \int \left(- e^{x}\right)\, dx$$
Solución detallada de la integral con y
Solución detallada de la integral con x
Tomemos estas integrales
$$\frac{\log{\left(\cos{\left(y \right)} - 1 \right)}}{2} - \frac{\log{\left(\cos{\left(y \right)} + 1 \right)}}{2} = Const - e^{x}$$
Solución detallada de una ecuación simple
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y.
(Const - es una constante)

La solución:
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = - \operatorname{acos}{\left(\frac{- C_{1} - e^{2 e^{x}}}{C_{1} - e^{2 e^{x}}} \right)} + 2 \pi$$
$$\operatorname{y_{2}} = y{\left(x \right)} = \operatorname{acos}{\left(\frac{- C_{1} - e^{2 e^{x}}}{C_{1} - e^{2 e^{x}}} \right)}$$
Respuesta [src]
             /          x\       
             |       2*e |       
             |-C1 - e    |       
y(x) = - acos|-----------| + 2*pi
             |          x|       
             |       2*e |       
             \ C1 - e    /       
$$y{\left(x \right)} = - \operatorname{acos}{\left(\frac{- C_{1} - e^{2 e^{x}}}{C_{1} - e^{2 e^{x}}} \right)} + 2 \pi$$
           /          x\
           |       2*e |
           |-C1 - e    |
y(x) = acos|-----------|
           |          x|
           |       2*e |
           \ C1 - e    /
$$y{\left(x \right)} = \operatorname{acos}{\left(\frac{- C_{1} - e^{2 e^{x}}}{C_{1} - e^{2 e^{x}}} \right)}$$
Gráfico para el problema de Cauchy
Clasificación
factorable
separable
1st exact
1st power series
lie group
separable Integral
1st exact Integral
Respuesta numérica [src]
(x, y):
(-10.0, 0.75)
(-7.777777777777778, 0.7497453324442672)
(-5.555555555555555, 0.7473991863985672)
(-3.333333333333333, 0.7260299258178236)
(-1.1111111111111107, 0.5520003514916014)
(1.1111111111111107, 0.037740913400219615)
(3.333333333333334, -7.798596878992337e-10)
(5.555555555555557, -2.540644498390335e-10)
(7.777777777777779, -1.2622934209161238e-10)
(10.0, -2.6543184546158934e-15)
(10.0, -2.6543184546158934e-15)