Sr Examen
Ecuación diferencial x*y'-2*sqrt(x^3*y)=y
El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉
⌨
Solución
Ha introducido
[src]
_________
/ 3 d
- 2*\/ x *y(x) + x*--(y(x)) = y(x)
dx
$$x \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} - 2 \sqrt{x^{3} y{\left(x \right)}} = y{\left(x \right)}$$
x*y' - 2*sqrt(x^3*y) = y
Solución detallada
Tenemos la ecuación:
$$- 2 x^{\frac{3}{2}} \sqrt{y{\left(x \right)}} + x \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} - y{\left(x \right)} = 0$$
Sustituimos
$$u{\left(x \right)} = \frac{y{\left(x \right)}}{x}$$
y porque
$$y{\left(x \right)} = x u{\left(x \right)}$$
entonces
$$\frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = x \frac{d}{d x} u{\left(x \right)} + u{\left(x \right)}$$
sustituimos
$$- 2 x^{2} \sqrt{u{\left(x \right)}} - x u{\left(x \right)} + x \frac{d}{d x} x u{\left(x \right)} = 0$$
o
$$- 2 x^{2} \sqrt{u{\left(x \right)}} + x^{2} \frac{d}{d x} u{\left(x \right)} = 0$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(u \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = 2$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(u \right)} = \sqrt{u{\left(x \right)}}$$
Pasemos la ecuación a la forma:
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(u)
$$\sqrt{u{\left(x \right)}}$$
obtendremos
$$\frac{\frac{d}{d x} u{\left(x \right)}}{\sqrt{u{\left(x \right)}}} = 2$$
Con esto hemos separado las variables x y u.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$\frac{dx \frac{d}{d x} u{\left(x \right)}}{\sqrt{u{\left(x \right)}}} = 2 dx$$
o
$$\frac{du}{\sqrt{u{\left(x \right)}}} = 2 dx$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por u,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du = \int 2\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$2 \sqrt{u} = Const + 2 x$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica u.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{u_{1}} = u{\left(x \right)} = \frac{C_{1}^{2}}{4} + C_{1} x + x^{2}$$
hacemos cambio inverso
$$y{\left(x \right)} = x u{\left(x \right)}$$
$$y1 = y(x) = x \left(\frac{C_{1}^{2}}{4} + C_{1} x + x^{2}\right)$$
$$- 2 x^{\frac{3}{2}} \sqrt{y{\left(x \right)}} + x \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} - y{\left(x \right)} = 0$$
Sustituimos
$$u{\left(x \right)} = \frac{y{\left(x \right)}}{x}$$
y porque
$$y{\left(x \right)} = x u{\left(x \right)}$$
entonces
$$\frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = x \frac{d}{d x} u{\left(x \right)} + u{\left(x \right)}$$
sustituimos
$$- 2 x^{2} \sqrt{u{\left(x \right)}} - x u{\left(x \right)} + x \frac{d}{d x} x u{\left(x \right)} = 0$$
o
$$- 2 x^{2} \sqrt{u{\left(x \right)}} + x^{2} \frac{d}{d x} u{\left(x \right)} = 0$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
f1(x)*g1(u)*u' = f2(x)*g2(u),
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(u \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = 2$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(u \right)} = \sqrt{u{\left(x \right)}}$$
Pasemos la ecuación a la forma:
g1(u)/g2(u)*u'= f2(x)/f1(x).
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(u)
$$\sqrt{u{\left(x \right)}}$$
obtendremos
$$\frac{\frac{d}{d x} u{\left(x \right)}}{\sqrt{u{\left(x \right)}}} = 2$$
Con esto hemos separado las variables x y u.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$\frac{dx \frac{d}{d x} u{\left(x \right)}}{\sqrt{u{\left(x \right)}}} = 2 dx$$
o
$$\frac{du}{\sqrt{u{\left(x \right)}}} = 2 dx$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por u,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du = \int 2\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$2 \sqrt{u} = Const + 2 x$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica u.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{u_{1}} = u{\left(x \right)} = \frac{C_{1}^{2}}{4} + C_{1} x + x^{2}$$
hacemos cambio inverso
$$y{\left(x \right)} = x u{\left(x \right)}$$
$$y1 = y(x) = x \left(\frac{C_{1}^{2}}{4} + C_{1} x + x^{2}\right)$$
Clasificación
lie group