Sr Examen
Ecuación diferencial xyy'=(x+1)(y+1)
El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉
⌨
Solución
Ha introducido
[src]
d x*--(y(x))*y(x) = (1 + x)*(1 + y(x)) dx
$$x y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = \left(x + 1\right) \left(y{\left(x \right)} + 1\right)$$
x*y*y' = (x + 1)*(y + 1)
Solución detallada
Tenemos la ecuación:
$$x y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = \left(x + 1\right) \left(y{\left(x \right)} + 1\right)$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = x$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = y{\left(x \right)}$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = - x - 1$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = - y{\left(x \right)} - 1$$
Pasemos la ecuación a la forma:
Dividamos ambos miembros de la ecuación en f1(x)
$$x$$
obtendremos
$$y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = \frac{\left(x + 1\right) \left(y{\left(x \right)} + 1\right)}{x}$$
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y)
$$- y{\left(x \right)} - 1$$
obtendremos
$$- \frac{y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{y{\left(x \right)} + 1} = - \frac{x + 1}{x}$$
Con esto hemos separado las variables x y y.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$- \frac{dx y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{y{\left(x \right)} + 1} = - \frac{dx \left(x + 1\right)}{x}$$
o
$$- \frac{dy y{\left(x \right)}}{y{\left(x \right)} + 1} = - \frac{dx \left(x + 1\right)}{x}$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \left(- \frac{y}{y + 1}\right)\, dy = \int \left(- \frac{x + 1}{x}\right)\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$- y + \log{\left(y + 1 \right)} = Const - x - \log{\left(x \right)}$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = - W\left(\frac{C_{1} e^{- x - 1}}{x}\right) - 1$$
$$x y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = \left(x + 1\right) \left(y{\left(x \right)} + 1\right)$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
f1(x)*g1(y)*y' = f2(x)*g2(y),
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = x$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = y{\left(x \right)}$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = - x - 1$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = - y{\left(x \right)} - 1$$
Pasemos la ecuación a la forma:
g1(y)/g2(y)*y'= f2(x)/f1(x).
Dividamos ambos miembros de la ecuación en f1(x)
$$x$$
obtendremos
$$y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = \frac{\left(x + 1\right) \left(y{\left(x \right)} + 1\right)}{x}$$
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y)
$$- y{\left(x \right)} - 1$$
obtendremos
$$- \frac{y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{y{\left(x \right)} + 1} = - \frac{x + 1}{x}$$
Con esto hemos separado las variables x y y.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$- \frac{dx y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{y{\left(x \right)} + 1} = - \frac{dx \left(x + 1\right)}{x}$$
o
$$- \frac{dy y{\left(x \right)}}{y{\left(x \right)} + 1} = - \frac{dx \left(x + 1\right)}{x}$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \left(- \frac{y}{y + 1}\right)\, dy = \int \left(- \frac{x + 1}{x}\right)\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$- y + \log{\left(y + 1 \right)} = Const - x - \log{\left(x \right)}$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = - W\left(\frac{C_{1} e^{- x - 1}}{x}\right) - 1$$
Respuesta
[src]
/ -1 - x\
|C1*e |
y(x) = -1 - W|----------|
\ x /
$$y{\left(x \right)} = - W\left(\frac{C_{1} e^{- x - 1}}{x}\right) - 1$$
Clasificación
separable
lie group
separable Integral