Sr Examen
Ecuación diferencial y'=sec^2(y)
El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉
⌨
Solución
Ha introducido
[src]
d 2 --(y(x)) = sec (y(x)) dx
$$\frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = \sec^{2}{\left(y{\left(x \right)} \right)}$$
y' = sec(y)^2
Solución detallada
Tenemos la ecuación:
$$\frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = \sec^{2}{\left(y{\left(x \right)} \right)}$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = \sec^{2}{\left(y{\left(x \right)} \right)}$$
Pasemos la ecuación a la forma:
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y)
$$\sec^{2}{\left(y{\left(x \right)} \right)}$$
obtendremos
$$\cos^{2}{\left(y{\left(x \right)} \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = 1$$
Con esto hemos separado las variables x y y.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$dx \cos^{2}{\left(y{\left(x \right)} \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = dx$$
o
$$dy \cos^{2}{\left(y{\left(x \right)} \right)} = dx$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \cos^{2}{\left(y \right)}\, dy = \int 1\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$\frac{y}{2} + \frac{\sin{\left(y \right)} \cos{\left(y \right)}}{2} = Const + x$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{y_{1}} = - x + \frac{y{\left(x \right)}}{2} + \frac{\sin{\left(y{\left(x \right)} \right)} \cos{\left(y{\left(x \right)} \right)}}{2} = C_{1}$$
$$\frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = \sec^{2}{\left(y{\left(x \right)} \right)}$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
f1(x)*g1(y)*y' = f2(x)*g2(y),
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = \sec^{2}{\left(y{\left(x \right)} \right)}$$
Pasemos la ecuación a la forma:
g1(y)/g2(y)*y'= f2(x)/f1(x).
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y)
$$\sec^{2}{\left(y{\left(x \right)} \right)}$$
obtendremos
$$\cos^{2}{\left(y{\left(x \right)} \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = 1$$
Con esto hemos separado las variables x y y.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$dx \cos^{2}{\left(y{\left(x \right)} \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = dx$$
o
$$dy \cos^{2}{\left(y{\left(x \right)} \right)} = dx$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \cos^{2}{\left(y \right)}\, dy = \int 1\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$\frac{y}{2} + \frac{\sin{\left(y \right)} \cos{\left(y \right)}}{2} = Const + x$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{y_{1}} = - x + \frac{y{\left(x \right)}}{2} + \frac{\sin{\left(y{\left(x \right)} \right)} \cos{\left(y{\left(x \right)} \right)}}{2} = C_{1}$$
Respuesta
[src]
y(x) cos(y(x))*sin(y(x)) ---- - x + ------------------- = C1 2 2
$$- x + \frac{y{\left(x \right)}}{2} + \frac{\sin{\left(y{\left(x \right)} \right)} \cos{\left(y{\left(x \right)} \right)}}{2} = C_{1}$$
Clasificación
separable
1st exact
1st power series
lie group
separable Integral
1st exact Integral