Ecuación diferencial xz'=(z)^2+z

Tenemos la ecuación:
$$x \frac{d}{d x} z{\left(x \right)} = z^{2}{\left(x \right)} + z{\left(x \right)}$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:

f1(x)*g1(z)*z' = f2(x)*g2(z),

donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(z \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = - \frac{1}{x}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(z \right)} = - \left(z{\left(x \right)} + 1\right) z{\left(x \right)}$$
Pasemos la ecuación a la forma:

g1(z)/g2(z)*z'= f2(x)/f1(x).

Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(z)
$$- \left(z{\left(x \right)} + 1\right) z{\left(x \right)}$$
obtendremos
$$- \frac{\frac{d}{d x} z{\left(x \right)}}{\left(z{\left(x \right)} + 1\right) z{\left(x \right)}} = - \frac{1}{x}$$
Con esto hemos separado las variables x y z.

Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$- \frac{dx \frac{d}{d x} z{\left(x \right)}}{\left(z{\left(x \right)} + 1\right) z{\left(x \right)}} = - \frac{dx}{x}$$
o
$$- \frac{dz}{\left(z{\left(x \right)} + 1\right) z{\left(x \right)}} = - \frac{dx}{x}$$

Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por z,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \left(- \frac{1}{z \left(z + 1\right)}\right)\, dz = \int \left(- \frac{1}{x}\right)\, dx$$
Solución detallada de la integral con z
Solución detallada de la integral con x
Tomemos estas integrales
$$- \log{\left(z \right)} + \log{\left(z + 1 \right)} = Const - \log{\left(x \right)}$$
Solución detallada de una ecuación simple
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica z.
(Const - es una constante)

La solución:
$$\operatorname{z_{1}} = z{\left(x \right)} = - \frac{x}{C_{1} + x}$$