Sr Examen
Ecuación diferencial cos3xy'=ysen3x
El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉
⌨
Solución
Ha introducido
[src]
d --(y(x))*cos(3*x) = sin(3*x)*y(x) dx
$$\cos{\left(3 x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = y{\left(x \right)} \sin{\left(3 x \right)}$$
cos(3*x)*y' = y*sin(3*x)
Solución detallada
Dividamos las dos partes de la ecuación al factor de la derivada de y':
$$\cos{\left(3 x \right)}$$
Recibimos la ecuación:
$$\frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = \frac{y{\left(x \right)} \sin{\left(3 x \right)}}{\cos{\left(3 x \right)}}$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
donde
$$P{\left(x \right)} = - \frac{\sin{\left(3 x \right)}}{\cos{\left(3 x \right)}}$$
y
y se llama lineal homogénea
ecuación diferencial de 1 orden:
Es una ecuación con variables separables.
Esta ecuación se resuelve con los pasos siguientes:
$$\frac{dy}{y} = - P{\left(x \right)} dx$$, con y no igual a 0
$$\int \frac{1}{y}\, dy = - \int P{\left(x \right)}\, dx$$
$$\log{\left(\left|{y}\right| \right)} = - \int P{\left(x \right)}\, dx$$
O,
$$\left|{y}\right| = e^{- \int P{\left(x \right)}\, dx}$$
Por eso,
$$y_{1} = e^{- \int P{\left(x \right)}\, dx}$$
$$y_{2} = - e^{- \int P{\left(x \right)}\, dx}$$
De la expresión se ve que hay que encontrar la integral:
$$\int P{\left(x \right)}\, dx$$
Como
$$P{\left(x \right)} = - \frac{\sin{\left(3 x \right)}}{\cos{\left(3 x \right)}}$$, entonces
$$\int P{\left(x \right)}\, dx$$ =
= $$\int \left(- \frac{\sin{\left(3 x \right)}}{\cos{\left(3 x \right)}}\right)\, dx = \frac{\log{\left(\cos{\left(3 x \right)} \right)}}{3} + Const$$
Es decir, la solución de la ecuación lineal homogénea es:
$$y_{1} = \frac{e^{C_{1}}}{\sqrt[3]{\cos{\left(3 x \right)}}}$$
$$y_{2} = - \frac{e^{C_{2}}}{\sqrt[3]{\cos{\left(3 x \right)}}}$$
lo que corresponde a la solución
con cualquier constante C no igual a cero:
$$y = \frac{C}{\sqrt[3]{\cos{\left(3 x \right)}}}$$
$$\cos{\left(3 x \right)}$$
Recibimos la ecuación:
$$\frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = \frac{y{\left(x \right)} \sin{\left(3 x \right)}}{\cos{\left(3 x \right)}}$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
y' + P(x)y = 0,
donde
$$P{\left(x \right)} = - \frac{\sin{\left(3 x \right)}}{\cos{\left(3 x \right)}}$$
y
y se llama lineal homogénea
ecuación diferencial de 1 orden:
Es una ecuación con variables separables.
Esta ecuación se resuelve con los pasos siguientes:
De y' + P(x)y = 0 obtenemos
$$\frac{dy}{y} = - P{\left(x \right)} dx$$, con y no igual a 0
$$\int \frac{1}{y}\, dy = - \int P{\left(x \right)}\, dx$$
$$\log{\left(\left|{y}\right| \right)} = - \int P{\left(x \right)}\, dx$$
O,
$$\left|{y}\right| = e^{- \int P{\left(x \right)}\, dx}$$
Por eso,
$$y_{1} = e^{- \int P{\left(x \right)}\, dx}$$
$$y_{2} = - e^{- \int P{\left(x \right)}\, dx}$$
De la expresión se ve que hay que encontrar la integral:
$$\int P{\left(x \right)}\, dx$$
Como
$$P{\left(x \right)} = - \frac{\sin{\left(3 x \right)}}{\cos{\left(3 x \right)}}$$, entonces
$$\int P{\left(x \right)}\, dx$$ =
= $$\int \left(- \frac{\sin{\left(3 x \right)}}{\cos{\left(3 x \right)}}\right)\, dx = \frac{\log{\left(\cos{\left(3 x \right)} \right)}}{3} + Const$$
Es decir, la solución de la ecuación lineal homogénea es:
$$y_{1} = \frac{e^{C_{1}}}{\sqrt[3]{\cos{\left(3 x \right)}}}$$
$$y_{2} = - \frac{e^{C_{2}}}{\sqrt[3]{\cos{\left(3 x \right)}}}$$
lo que corresponde a la solución
con cualquier constante C no igual a cero:
$$y = \frac{C}{\sqrt[3]{\cos{\left(3 x \right)}}}$$
Respuesta
[src]
C1
y(x) = ------------
3 __________
\/ cos(3*x)
$$y{\left(x \right)} = \frac{C_{1}}{\sqrt[3]{\cos{\left(3 x \right)}}}$$
Clasificación
factorable
separable
1st exact
1st linear
Bernoulli
almost linear
1st power series
lie group
separable Integral
1st exact Integral
1st linear Integral
Bernoulli Integral
almost linear Integral