Sr Examen
Ecuación diferencial yy’+y’-6y=0
El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉
⌨
Solución
Ha introducido
[src]
d d
-6*y(x) + --(y(x))*y(x) + --(y(x)) = 0
dx dx
$$y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} - 6 y{\left(x \right)} + \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = 0$$
y*y' - 6*y + y' = 0
Solución detallada
Tenemos la ecuación:
$$y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} - 6 y{\left(x \right)} + \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = 0$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = 6$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = \frac{y{\left(x \right)}}{y{\left(x \right)} + 1}$$
Pasemos la ecuación a la forma:
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y)
$$\frac{y{\left(x \right)}}{y{\left(x \right)} + 1}$$
obtendremos
$$\frac{\left(y{\left(x \right)} + 1\right) \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{y{\left(x \right)}} = 6$$
Con esto hemos separado las variables x y y.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$\frac{dx \left(y{\left(x \right)} + 1\right) \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{y{\left(x \right)}} = 6 dx$$
o
$$\frac{dy \left(y{\left(x \right)} + 1\right)}{y{\left(x \right)}} = 6 dx$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \frac{y + 1}{y}\, dy = \int 6\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$y + \log{\left(y \right)} = Const + 6 x$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = W\left(C_{1} e^{6 x}\right)$$
$$y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} - 6 y{\left(x \right)} + \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = 0$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
f1(x)*g1(y)*y' = f2(x)*g2(y),
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = 6$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = \frac{y{\left(x \right)}}{y{\left(x \right)} + 1}$$
Pasemos la ecuación a la forma:
g1(y)/g2(y)*y'= f2(x)/f1(x).
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y)
$$\frac{y{\left(x \right)}}{y{\left(x \right)} + 1}$$
obtendremos
$$\frac{\left(y{\left(x \right)} + 1\right) \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{y{\left(x \right)}} = 6$$
Con esto hemos separado las variables x y y.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$\frac{dx \left(y{\left(x \right)} + 1\right) \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{y{\left(x \right)}} = 6 dx$$
o
$$\frac{dy \left(y{\left(x \right)} + 1\right)}{y{\left(x \right)}} = 6 dx$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \frac{y + 1}{y}\, dy = \int 6\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$y + \log{\left(y \right)} = Const + 6 x$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = W\left(C_{1} e^{6 x}\right)$$
Gráfico para el problema de Cauchy
Clasificación
separable
1st exact
1st power series
lie group
separable Integral
1st exact Integral
Respuesta numérica
[src]
(x, y):
(-10.0, 0.75)
(-7.777777777777778, 11.36510373077462)
(-5.555555555555555, 23.952895602099773)
(-3.333333333333333, 36.855318361724)
(-1.1111111111111107, 49.88591306133492)
(1.1111111111111107, 62.98607156595347)
(3.333333333333334, 76.12987777553712)
(5.555555555555557, 89.30361019153499)
(7.777777777777779, 102.49913116749518)
(10.0, 115.71122122658541)
(10.0, 115.71122122658541)