Tenemos la ecuación:
$$\frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = \frac{y{\left(x \right)} + 1}{y{\left(x \right)} - 1}$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
f1(x)*g1(y)*y' = f2(x)*g2(y),
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = \frac{y{\left(x \right)} + 1}{y{\left(x \right)} - 1}$$
Pasemos la ecuación a la forma:
g1(y)/g2(y)*y'= f2(x)/f1(x).
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y)
$$\frac{y{\left(x \right)} + 1}{y{\left(x \right)} - 1}$$
obtendremos
$$\frac{\left(y{\left(x \right)} - 1\right) \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{y{\left(x \right)} + 1} = 1$$
Con esto hemos separado las variables x y y.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$\frac{dx \left(y{\left(x \right)} - 1\right) \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{y{\left(x \right)} + 1} = dx$$
o
$$\frac{dy \left(y{\left(x \right)} - 1\right)}{y{\left(x \right)} + 1} = dx$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \frac{y - 1}{y + 1}\, dy = \int 1\, dx$$
Solución detallada de la integral con ySolución detallada de la integral con xTomemos estas integrales
$$y - 2 \log{\left(y + 1 \right)} = Const + x$$
Solución detallada de una ecuación simpleHemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = - 2 W\left(- \frac{\sqrt{C_{1} e^{- x}}}{2 \sqrt{e^{1}}}\right) - 1$$
$$\operatorname{y_{2}} = y{\left(x \right)} = - 2 W\left(\frac{\sqrt{C_{1} e^{- x}}}{2 \sqrt{e^{1}}}\right) - 1$$