Sr Examen
Ecuación diferencial a*y''+b*c*y=-b
El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉
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Solución
Ha introducido
[src]
2
d
a*---(y(x)) + b*c*y(x) = -b
2
dx
$$a \frac{d^{2}}{d x^{2}} y{\left(x \right)} + b c y{\left(x \right)} = - b$$
a*y'' + b*c*y = -b
Solución detallada
Dividamos las dos partes de la ecuación al factor de la derivada de y'':
$$a$$
Recibimos la ecuación:
$$\frac{a \frac{d^{2}}{d x^{2}} y{\left(x \right)} + b c y{\left(x \right)}}{a} = - \frac{b}{a}$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
donde
$$p = 0$$
$$q = \frac{b c}{a}$$
$$s = \frac{b}{a}$$
Se llama lineal heterogénea
ecuación diferencial de 2 orden con factores constantes.
No hay mucha dificultad en la resolución de esta ecuación
Primero resolvamos la ecuación lineal homogénea correspondiente
Primero hallemos las raíces de la ecuación característica
$$q + \left(k^{2} + k p\right) = 0$$
En nuestro caso la ecuación característica va a tener la forma:
$$k^{2} + \frac{b c}{a} = 0$$
Solución detallada de una ecuación simple
- es una ecuación cuadrática simple
Raíces de esta ecuación:
$$k_{1} = - \sqrt{- \frac{b c}{a}}$$
$$k_{2} = \sqrt{- \frac{b c}{a}}$$
Como la ecuación característica tiene dos raíces,
la solución de la ecuación diferencial correspondiente tiene la forma:
$$y{\left(x \right)} = e^{k_{1} x} C_{1} + e^{k_{2} x} C_{2}$$
$$y{\left(x \right)} = C_{1} e^{- x \sqrt{- \frac{b c}{a}}} + C_{2} e^{x \sqrt{- \frac{b c}{a}}}$$
Hemos encontrado la solución de la ecuación homogénea correspondiente
Ahora hay que resolver nuestra ecuación heterogénea
Usamos el método de variación de la constante arbitraria
Consideremos que C1 y C2 son funciones de x
Y la solución general será:
$$y{\left(x \right)} = \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} e^{- x \sqrt{- \frac{b c}{a}}} + \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} e^{x \sqrt{- \frac{b c}{a}}}$$
donde C1(x) y C2(x)
según el método de variación de constantes hallemos del sistema:
$$\operatorname{y_{1}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} + \operatorname{y_{2}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = 0$$
$$\frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{y_{1}}{\left(x \right)} + \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{y_{2}}{\left(x \right)} = f{\left(x \right)}$$
donde
y1(x) y y2(x) son soluciones parciales linealmente independientes de la ecuación diferencial lineal homogénea,
y1(x) = exp(-x*sqrt(-b*c/a)) (C1=1, C2=0),
y2(x) = exp(x*sqrt(-b*c/a)) (C1=0, C2=1).
A es un término independiente f = - s, o
$$f{\left(x \right)} = - \frac{b}{a}$$
Es decir, el sistema tendrá la forma:
$$e^{x \sqrt{- \frac{b c}{a}}} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} + e^{- x \sqrt{- \frac{b c}{a}}} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} = 0$$
$$\frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} \frac{\partial}{\partial x} e^{- x \sqrt{- \frac{b c}{a}}} + \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} \frac{\partial}{\partial x} e^{x \sqrt{- \frac{b c}{a}}} = - \frac{b}{a}$$
o
$$e^{x \sqrt{- \frac{b c}{a}}} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} + e^{- x \sqrt{- \frac{b c}{a}}} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} = 0$$
$$\sqrt{- \frac{b c}{a}} e^{x \sqrt{- \frac{b c}{a}}} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} - \sqrt{- \frac{b c}{a}} e^{- x \sqrt{- \frac{b c}{a}}} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} = - \frac{b}{a}$$
Resolvamos este sistema:
$$\frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} = \frac{b e^{x \sqrt{- \frac{b c}{a}}}}{2 a \sqrt{- \frac{b c}{a}}}$$
$$\frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = - \frac{b e^{- x \sqrt{- \frac{b c}{a}}}}{2 a \sqrt{- \frac{b c}{a}}}$$
- son ecuaciones diferenciales simples, resolvámoslas
$$\operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} = C_{3} + \int \frac{b e^{x \sqrt{- \frac{b c}{a}}}}{2 a \sqrt{- \frac{b c}{a}}}\, dx$$
$$\operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = C_{4} + \int \left(- \frac{b e^{- x \sqrt{- \frac{b c}{a}}}}{2 a \sqrt{- \frac{b c}{a}}}\right)\, dx$$
o
$$\operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} = C_{3} + \begin{cases} - \frac{e^{x \sqrt{- \frac{b c}{a}}}}{2 c} & \text{for}\: 2 c \neq 0 \\\frac{b x}{2 a \sqrt{- \frac{b c}{a}}} & \text{otherwise} \end{cases}$$
$$\operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = C_{4} + \begin{cases} - \frac{e^{- x \sqrt{- \frac{b c}{a}}}}{2 c} & \text{for}\: 2 c \neq 0 \\- \frac{b x}{2 a \sqrt{- \frac{b c}{a}}} & \text{otherwise} \end{cases}$$
Sustituyamos C1(x) y C2(x) hallados en
$$y{\left(x \right)} = \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} e^{- x \sqrt{- \frac{b c}{a}}} + \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} e^{x \sqrt{- \frac{b c}{a}}}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$y{\left(x \right)} = C_{3} e^{- x \sqrt{- \frac{b c}{a}}} + C_{4} e^{x \sqrt{- \frac{b c}{a}}} + \left(\begin{cases} - \frac{e^{- x \sqrt{- \frac{b c}{a}}}}{2 c} & \text{for}\: 2 c \neq 0 \\- \frac{b x}{2 a \sqrt{- \frac{b c}{a}}} & \text{otherwise} \end{cases}\right) e^{x \sqrt{- \frac{b c}{a}}} + \left(\begin{cases} - \frac{e^{x \sqrt{- \frac{b c}{a}}}}{2 c} & \text{for}\: 2 c \neq 0 \\\frac{b x}{2 a \sqrt{- \frac{b c}{a}}} & \text{otherwise} \end{cases}\right) e^{- x \sqrt{- \frac{b c}{a}}}$$
donde C3 y C4 hay son constantes
$$a$$
Recibimos la ecuación:
$$\frac{a \frac{d^{2}}{d x^{2}} y{\left(x \right)} + b c y{\left(x \right)}}{a} = - \frac{b}{a}$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
y'' + p*y' + q*y = s,
donde
$$p = 0$$
$$q = \frac{b c}{a}$$
$$s = \frac{b}{a}$$
Se llama lineal heterogénea
ecuación diferencial de 2 orden con factores constantes.
No hay mucha dificultad en la resolución de esta ecuación
Primero resolvamos la ecuación lineal homogénea correspondiente
y'' + p*y' + q*y = 0
Primero hallemos las raíces de la ecuación característica
$$q + \left(k^{2} + k p\right) = 0$$
En nuestro caso la ecuación característica va a tener la forma:
$$k^{2} + \frac{b c}{a} = 0$$
Solución detallada de una ecuación simple
- es una ecuación cuadrática simple
Raíces de esta ecuación:
$$k_{1} = - \sqrt{- \frac{b c}{a}}$$
$$k_{2} = \sqrt{- \frac{b c}{a}}$$
Como la ecuación característica tiene dos raíces,
la solución de la ecuación diferencial correspondiente tiene la forma:
$$y{\left(x \right)} = e^{k_{1} x} C_{1} + e^{k_{2} x} C_{2}$$
$$y{\left(x \right)} = C_{1} e^{- x \sqrt{- \frac{b c}{a}}} + C_{2} e^{x \sqrt{- \frac{b c}{a}}}$$
Hemos encontrado la solución de la ecuación homogénea correspondiente
Ahora hay que resolver nuestra ecuación heterogénea
y'' + p*y' + q*y = s
Usamos el método de variación de la constante arbitraria
Consideremos que C1 y C2 son funciones de x
Y la solución general será:
$$y{\left(x \right)} = \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} e^{- x \sqrt{- \frac{b c}{a}}} + \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} e^{x \sqrt{- \frac{b c}{a}}}$$
donde C1(x) y C2(x)
según el método de variación de constantes hallemos del sistema:
$$\operatorname{y_{1}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} + \operatorname{y_{2}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = 0$$
$$\frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{y_{1}}{\left(x \right)} + \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{y_{2}}{\left(x \right)} = f{\left(x \right)}$$
donde
y1(x) y y2(x) son soluciones parciales linealmente independientes de la ecuación diferencial lineal homogénea,
y1(x) = exp(-x*sqrt(-b*c/a)) (C1=1, C2=0),
y2(x) = exp(x*sqrt(-b*c/a)) (C1=0, C2=1).
A es un término independiente f = - s, o
$$f{\left(x \right)} = - \frac{b}{a}$$
Es decir, el sistema tendrá la forma:
$$e^{x \sqrt{- \frac{b c}{a}}} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} + e^{- x \sqrt{- \frac{b c}{a}}} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} = 0$$
$$\frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} \frac{\partial}{\partial x} e^{- x \sqrt{- \frac{b c}{a}}} + \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} \frac{\partial}{\partial x} e^{x \sqrt{- \frac{b c}{a}}} = - \frac{b}{a}$$
o
$$e^{x \sqrt{- \frac{b c}{a}}} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} + e^{- x \sqrt{- \frac{b c}{a}}} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} = 0$$
$$\sqrt{- \frac{b c}{a}} e^{x \sqrt{- \frac{b c}{a}}} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} - \sqrt{- \frac{b c}{a}} e^{- x \sqrt{- \frac{b c}{a}}} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} = - \frac{b}{a}$$
Resolvamos este sistema:
$$\frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} = \frac{b e^{x \sqrt{- \frac{b c}{a}}}}{2 a \sqrt{- \frac{b c}{a}}}$$
$$\frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = - \frac{b e^{- x \sqrt{- \frac{b c}{a}}}}{2 a \sqrt{- \frac{b c}{a}}}$$
- son ecuaciones diferenciales simples, resolvámoslas
$$\operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} = C_{3} + \int \frac{b e^{x \sqrt{- \frac{b c}{a}}}}{2 a \sqrt{- \frac{b c}{a}}}\, dx$$
$$\operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = C_{4} + \int \left(- \frac{b e^{- x \sqrt{- \frac{b c}{a}}}}{2 a \sqrt{- \frac{b c}{a}}}\right)\, dx$$
o
$$\operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} = C_{3} + \begin{cases} - \frac{e^{x \sqrt{- \frac{b c}{a}}}}{2 c} & \text{for}\: 2 c \neq 0 \\\frac{b x}{2 a \sqrt{- \frac{b c}{a}}} & \text{otherwise} \end{cases}$$
$$\operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = C_{4} + \begin{cases} - \frac{e^{- x \sqrt{- \frac{b c}{a}}}}{2 c} & \text{for}\: 2 c \neq 0 \\- \frac{b x}{2 a \sqrt{- \frac{b c}{a}}} & \text{otherwise} \end{cases}$$
Sustituyamos C1(x) y C2(x) hallados en
$$y{\left(x \right)} = \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} e^{- x \sqrt{- \frac{b c}{a}}} + \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} e^{x \sqrt{- \frac{b c}{a}}}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$y{\left(x \right)} = C_{3} e^{- x \sqrt{- \frac{b c}{a}}} + C_{4} e^{x \sqrt{- \frac{b c}{a}}} + \left(\begin{cases} - \frac{e^{- x \sqrt{- \frac{b c}{a}}}}{2 c} & \text{for}\: 2 c \neq 0 \\- \frac{b x}{2 a \sqrt{- \frac{b c}{a}}} & \text{otherwise} \end{cases}\right) e^{x \sqrt{- \frac{b c}{a}}} + \left(\begin{cases} - \frac{e^{x \sqrt{- \frac{b c}{a}}}}{2 c} & \text{for}\: 2 c \neq 0 \\\frac{b x}{2 a \sqrt{- \frac{b c}{a}}} & \text{otherwise} \end{cases}\right) e^{- x \sqrt{- \frac{b c}{a}}}$$
donde C3 y C4 hay son constantes
Respuesta
[src]
_______ _______
/ -b*c / -b*c
-x* / ----- x* / -----
1 \/ a \/ a
y(x) = - - + C1*e + C2*e
c
$$y{\left(x \right)} = C_{1} e^{- x \sqrt{- \frac{b c}{a}}} + C_{2} e^{x \sqrt{- \frac{b c}{a}}} - \frac{1}{c}$$
Clasificación
nth linear constant coeff undetermined coefficients
nth linear constant coeff variation of parameters
nth linear constant coeff variation of parameters Integral