Sr Examen
Ecuación diferencial y'+y/x=x^2*y^4
El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉
⌨
Solución
Ha introducido
[src]
y(x) d 2 4 ---- + --(y(x)) = x *y (x) x dx
$$\frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + \frac{y{\left(x \right)}}{x} = x^{2} y^{4}{\left(x \right)}$$
y' + y/x = x^2*y^4
Solución detallada
Tenemos la ecuación:
$$- x^{2} y^{4}{\left(x \right)} + \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + \frac{y{\left(x \right)}}{x} = 0$$
Sustituimos
$$u{\left(x \right)} = x y{\left(x \right)}$$
y porque
$$y{\left(x \right)} = \frac{u{\left(x \right)}}{x}$$
entonces
$$\frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = \frac{\frac{d}{d x} u{\left(x \right)}}{x} - \frac{u{\left(x \right)}}{x^{2}}$$
sustituimos
$$\frac{d}{d x} \frac{u{\left(x \right)}}{x} - \frac{u^{4}{\left(x \right)}}{x^{2}} + \frac{u{\left(x \right)}}{x^{2}} = 0$$
o
$$\frac{\frac{d}{d x} u{\left(x \right)}}{x} - \frac{u^{4}{\left(x \right)}}{x^{2}} = 0$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(u \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = - \frac{1}{x}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(u \right)} = - u^{4}{\left(x \right)}$$
Pasemos la ecuación a la forma:
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(u)
$$- u^{4}{\left(x \right)}$$
obtendremos
$$- \frac{\frac{d}{d x} u{\left(x \right)}}{u^{4}{\left(x \right)}} = - \frac{1}{x}$$
Con esto hemos separado las variables x y u.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$- \frac{dx \frac{d}{d x} u{\left(x \right)}}{u^{4}{\left(x \right)}} = - \frac{dx}{x}$$
o
$$- \frac{du}{u^{4}{\left(x \right)}} = - \frac{dx}{x}$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por u,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \left(- \frac{1}{u^{4}}\right)\, du = \int \left(- \frac{1}{x}\right)\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$\frac{1}{3 u^{3}} = Const - \log{\left(x \right)}$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica u.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{u_{1}} = u{\left(x \right)} = \sqrt[3]{- \frac{1}{C_{1} + 3 \log{\left(x \right)}}}$$
$$\operatorname{u_{2}} = u{\left(x \right)} = \frac{\sqrt[3]{- \frac{1}{C_{1} + \log{\left(x \right)}}} \left(- 3^{\frac{2}{3}} + \left(-3\right) \sqrt[6]{3} i\right)}{6}$$
$$\operatorname{u_{3}} = u{\left(x \right)} = \frac{\sqrt[3]{- \frac{1}{C_{1} + \log{\left(x \right)}}} \left(- 3^{\frac{2}{3}} + 3 \sqrt[6]{3} i\right)}{6}$$
hacemos cambio inverso
$$y{\left(x \right)} = \frac{u{\left(x \right)}}{x}$$
$$y1 = y(x) = \frac{\sqrt[3]{- \frac{1}{C_{1} + 3 \log{\left(x \right)}}}}{x}$$
$$y2 = y(x) = \frac{\sqrt[3]{- \frac{1}{C_{1} + \log{\left(x \right)}}} \left(- 3^{\frac{2}{3}} - 3 \sqrt[6]{3} i\right)}{6 x}$$
$$y3 = y(x) = \frac{\sqrt[3]{- \frac{1}{C_{1} + \log{\left(x \right)}}} \left(- 3^{\frac{2}{3}} + 3 \sqrt[6]{3} i\right)}{6 x}$$
$$- x^{2} y^{4}{\left(x \right)} + \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + \frac{y{\left(x \right)}}{x} = 0$$
Sustituimos
$$u{\left(x \right)} = x y{\left(x \right)}$$
y porque
$$y{\left(x \right)} = \frac{u{\left(x \right)}}{x}$$
entonces
$$\frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = \frac{\frac{d}{d x} u{\left(x \right)}}{x} - \frac{u{\left(x \right)}}{x^{2}}$$
sustituimos
$$\frac{d}{d x} \frac{u{\left(x \right)}}{x} - \frac{u^{4}{\left(x \right)}}{x^{2}} + \frac{u{\left(x \right)}}{x^{2}} = 0$$
o
$$\frac{\frac{d}{d x} u{\left(x \right)}}{x} - \frac{u^{4}{\left(x \right)}}{x^{2}} = 0$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
f1(x)*g1(u)*u' = f2(x)*g2(u),
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(u \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = - \frac{1}{x}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(u \right)} = - u^{4}{\left(x \right)}$$
Pasemos la ecuación a la forma:
g1(u)/g2(u)*u'= f2(x)/f1(x).
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(u)
$$- u^{4}{\left(x \right)}$$
obtendremos
$$- \frac{\frac{d}{d x} u{\left(x \right)}}{u^{4}{\left(x \right)}} = - \frac{1}{x}$$
Con esto hemos separado las variables x y u.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$- \frac{dx \frac{d}{d x} u{\left(x \right)}}{u^{4}{\left(x \right)}} = - \frac{dx}{x}$$
o
$$- \frac{du}{u^{4}{\left(x \right)}} = - \frac{dx}{x}$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por u,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \left(- \frac{1}{u^{4}}\right)\, du = \int \left(- \frac{1}{x}\right)\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$\frac{1}{3 u^{3}} = Const - \log{\left(x \right)}$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica u.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{u_{1}} = u{\left(x \right)} = \sqrt[3]{- \frac{1}{C_{1} + 3 \log{\left(x \right)}}}$$
$$\operatorname{u_{2}} = u{\left(x \right)} = \frac{\sqrt[3]{- \frac{1}{C_{1} + \log{\left(x \right)}}} \left(- 3^{\frac{2}{3}} + \left(-3\right) \sqrt[6]{3} i\right)}{6}$$
$$\operatorname{u_{3}} = u{\left(x \right)} = \frac{\sqrt[3]{- \frac{1}{C_{1} + \log{\left(x \right)}}} \left(- 3^{\frac{2}{3}} + 3 \sqrt[6]{3} i\right)}{6}$$
hacemos cambio inverso
$$y{\left(x \right)} = \frac{u{\left(x \right)}}{x}$$
$$y1 = y(x) = \frac{\sqrt[3]{- \frac{1}{C_{1} + 3 \log{\left(x \right)}}}}{x}$$
$$y2 = y(x) = \frac{\sqrt[3]{- \frac{1}{C_{1} + \log{\left(x \right)}}} \left(- 3^{\frac{2}{3}} - 3 \sqrt[6]{3} i\right)}{6 x}$$
$$y3 = y(x) = \frac{\sqrt[3]{- \frac{1}{C_{1} + \log{\left(x \right)}}} \left(- 3^{\frac{2}{3}} + 3 \sqrt[6]{3} i\right)}{6 x}$$
Respuesta
[src]
____________________
/ 1 / ___\
/ ------------------ *\-1 - I*\/ 3 /
3 / 3
\/ x *(C1 - 3*log(x))
y(x) = ----------------------------------------
2
$$y{\left(x \right)} = \frac{\sqrt[3]{\frac{1}{x^{3} \left(C_{1} - 3 \log{\left(x \right)}\right)}} \left(-1 - \sqrt{3} i\right)}{2}$$
____________________
/ 1 / ___\
/ ------------------ *\-1 + I*\/ 3 /
3 / 3
\/ x *(C1 - 3*log(x))
y(x) = ----------------------------------------
2
$$y{\left(x \right)} = \frac{\sqrt[3]{\frac{1}{x^{3} \left(C_{1} - 3 \log{\left(x \right)}\right)}} \left(-1 + \sqrt{3} i\right)}{2}$$
____________________
/ 1
y(x) = / ------------------
3 / 3
\/ x *(C1 - 3*log(x))
$$y{\left(x \right)} = \sqrt[3]{\frac{1}{x^{3} \left(C_{1} - 3 \log{\left(x \right)}\right)}}$$
Clasificación
Bernoulli
separable reduced
lie group
Bernoulli Integral
separable reduced Integral