Ecuación diferencial 2(2y-3x)y'=6y-9x-(2y-3x-2)^(2/3)

Tenemos la ecuación:
$$9 x + \left(- 6 x + 4 y{\left(x \right)}\right) \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + \left(- 3 x + 2 y{\left(x \right)} - 2\right)^{\frac{2}{3}} - 6 y{\left(x \right)} = 0$$
Sustituimos
$$u{\left(x \right)} = - 6 x + 4 y{\left(x \right)}$$
y porque
$$4 \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} - 6 = \frac{d}{d x} u{\left(x \right)}$$
entonces
$$\frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = \frac{\frac{d}{d x} u{\left(x \right)}}{4} + \frac{3}{2}$$
sustituimos
$$- 6 x \frac{d}{d x} \left(\frac{3 x}{2} + \frac{u{\left(x \right)}}{4}\right) + 4 \left(\frac{3 x}{2} + \frac{u{\left(x \right)}}{4}\right) \frac{d}{d x} \left(\frac{3 x}{2} + \frac{u{\left(x \right)}}{4}\right) + \left(\frac{u{\left(x \right)}}{2} - 2\right)^{\frac{2}{3}} - \frac{3 u{\left(x \right)}}{2} = 0$$
o
$$\left(\frac{u{\left(x \right)}}{2} - 2\right)^{\frac{2}{3}} + \frac{u{\left(x \right)} \frac{d}{d x} u{\left(x \right)}}{4} = 0$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:

f1(x)*g1(u)*u' = f2(x)*g2(u),

donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(u \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = - \sqrt[3]{2}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(u \right)} = \frac{2 \left(u{\left(x \right)} - 4\right)^{\frac{2}{3}}}{u{\left(x \right)}}$$
Pasemos la ecuación a la forma:

g1(u)/g2(u)*u'= f2(x)/f1(x).

Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(u)
$$\frac{2 \left(u{\left(x \right)} - 4\right)^{\frac{2}{3}}}{u{\left(x \right)}}$$
obtendremos
$$\frac{u{\left(x \right)} \frac{d}{d x} u{\left(x \right)}}{2 \left(u{\left(x \right)} - 4\right)^{\frac{2}{3}}} = - \sqrt[3]{2}$$
Con esto hemos separado las variables x y u.

Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$\frac{dx u{\left(x \right)} \frac{d}{d x} u{\left(x \right)}}{2 \left(u{\left(x \right)} - 4\right)^{\frac{2}{3}}} = - \sqrt[3]{2} dx$$
o
$$\frac{du u{\left(x \right)}}{2 \left(u{\left(x \right)} - 4\right)^{\frac{2}{3}}} = - \sqrt[3]{2} dx$$

Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por u,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \frac{u}{2 \left(u - 4\right)^{\frac{2}{3}}}\, du = \int \left(- \sqrt[3]{2}\right)\, dx$$
Solución detallada de la integral con u
Solución detallada de la integral con x
Tomemos estas integrales
$$\frac{\begin{cases} \frac{3 u \sqrt[3]{u - 4}}{4} + 9 \sqrt[3]{u - 4} & \text{for}\: \frac{\left|{u}\right|}{4} > 1 \\- \frac{3 u \sqrt[3]{4 - u} e^{- \frac{2 i \pi}{3}}}{4} - 9 \sqrt[3]{4 - u} e^{- \frac{2 i \pi}{3}} & \text{otherwise} \end{cases}}{2} = Const - \sqrt[3]{2} x$$
Solución detallada de una ecuación simple
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica u.
(Const - es una constante)

La solución:
$$\operatorname{u_{1}} = \begin{cases} \frac{3 \cdot 2^{\frac{2}{3}} \sqrt[3]{u{\left(x \right)} - 4} u{\left(x \right)}}{16} + \frac{9 \cdot 2^{\frac{2}{3}} \sqrt[3]{u{\left(x \right)} - 4}}{4} & \text{for}\: \frac{\left|{u{\left(x \right)}}\right|}{4} > 1 \\- \frac{3 \cdot 2^{\frac{2}{3}} \sqrt[3]{4 - u{\left(x \right)}} u{\left(x \right)} e^{- \frac{2 i \pi}{3}}}{16} - \frac{9 \cdot 2^{\frac{2}{3}} \sqrt[3]{4 - u{\left(x \right)}} e^{- \frac{2 i \pi}{3}}}{4} & \text{otherwise} \end{cases} = C_{1} - x$$
hacemos cambio inverso
$$y{\left(x \right)} = \frac{3 x}{2} + \frac{u{\left(x \right)}}{4}$$
$$y1 = y(x) = \frac{C_{1}}{4} + \frac{5 x}{4}$$