Sr Examen

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z^3=1

z^3=1 la ecuación

El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉

v

Solución numérica:

Buscar la solución numérica en el intervalo [, ]

Solución

Ha introducido [src]
 3    
z  = 1
$$z^{3} = 1$$
Solución detallada
Tenemos la ecuación
$$z^{3} = 1$$
Ya que la potencia en la ecuación es igual a = 3 - no contiene número par en el numerador, entonces
la ecuación tendrá una raíz real.
Extraigamos la raíz de potencia 3 de las dos partes de la ecuación:
Obtenemos:
$$\sqrt[3]{z^{3}} = \sqrt[3]{1}$$
o
$$z = 1$$
Obtenemos la respuesta: z = 1

Las demás 2 raíces son complejas.
hacemos el cambio:
$$w = z$$
entonces la ecuación será así:
$$w^{3} = 1$$
Cualquier número complejo se puede presentar que:
$$w = r e^{i p}$$
sustituimos en la ecuación
$$r^{3} e^{3 i p} = 1$$
donde
$$r = 1$$
- módulo del número complejo
Sustituyamos r:
$$e^{3 i p} = 1$$
Usando la fórmula de Euler hallemos las raíces para p
$$i \sin{\left(3 p \right)} + \cos{\left(3 p \right)} = 1$$
es decir
$$\cos{\left(3 p \right)} = 1$$
y
$$\sin{\left(3 p \right)} = 0$$
entonces
$$p = \frac{2 \pi N}{3}$$
donde N=0,1,2,3,...
Seleccionando los valores de N y sustituyendo p en la fórmula para w
Es decir, la solución será para w:
$$w_{1} = 1$$
$$w_{2} = - \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{2}$$
$$w_{3} = - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2}$$
hacemos cambio inverso
$$w = z$$
$$z = w$$

Entonces la respuesta definitiva es:
$$z_{1} = 1$$
$$z_{2} = - \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{2}$$
$$z_{3} = - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2}$$
Teorema de Cardano-Vieta
es ecuación cúbica reducida
$$p z^{2} + q z + v + z^{3} = 0$$
donde
$$p = \frac{b}{a}$$
$$p = 0$$
$$q = \frac{c}{a}$$
$$q = 0$$
$$v = \frac{d}{a}$$
$$v = -1$$
Fórmulas de Cardano-Vieta
$$z_{1} + z_{2} + z_{3} = - p$$
$$z_{1} z_{2} + z_{1} z_{3} + z_{2} z_{3} = q$$
$$z_{1} z_{2} z_{3} = v$$
$$z_{1} + z_{2} + z_{3} = 0$$
$$z_{1} z_{2} + z_{1} z_{3} + z_{2} z_{3} = 0$$
$$z_{1} z_{2} z_{3} = -1$$
Gráfica
Suma y producto de raíces [src]
suma
              ___             ___
      1   I*\/ 3      1   I*\/ 3 
1 + - - - ------- + - - + -------
      2      2        2      2   
$$\left(1 + \left(- \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{2}\right)\right) + \left(- \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2}\right)$$
=
0
$$0$$
producto
/          ___\ /          ___\
|  1   I*\/ 3 | |  1   I*\/ 3 |
|- - - -------|*|- - + -------|
\  2      2   / \  2      2   /
$$\left(- \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{2}\right) \left(- \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2}\right)$$
=
1
$$1$$
1
Respuesta rápida [src]
z1 = 1
$$z_{1} = 1$$
               ___
       1   I*\/ 3 
z2 = - - - -------
       2      2   
$$z_{2} = - \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{2}$$
               ___
       1   I*\/ 3 
z3 = - - + -------
       2      2   
$$z_{3} = - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2}$$
z3 = -1/2 + sqrt(3)*i/2
Respuesta numérica [src]
z1 = -0.5 + 0.866025403784439*i
z2 = -0.5 - 0.866025403784439*i
z3 = 1.0
z3 = 1.0
Gráfico
z^3=1 la ecuación