Sr Examen

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(x-2)^3=216 la ecuación

El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉

v

Solución numérica:

Buscar la solución numérica en el intervalo [, ]

Solución

Ha introducido [src]
       3      
(x - 2)  = 216
$$\left(x - 2\right)^{3} = 216$$
Solución detallada
Tenemos la ecuación
$$\left(x - 2\right)^{3} = 216$$
Ya que la potencia en la ecuación es igual a = 3 - no contiene número par en el numerador, entonces
la ecuación tendrá una raíz real.
Extraigamos la raíz de potencia 3 de las dos partes de la ecuación:
Obtenemos:
$$\sqrt[3]{\left(x - 2\right)^{3}} = \sqrt[3]{216}$$
o
$$x - 2 = 6$$
Transportamos los términos libres (sin x)
del miembro izquierdo al derecho, obtenemos:
$$x = 8$$
Obtenemos la respuesta: x = 8

Las demás 2 raíces son complejas.
hacemos el cambio:
$$z = x - 2$$
entonces la ecuación será así:
$$z^{3} = 216$$
Cualquier número complejo se puede presentar que:
$$z = r e^{i p}$$
sustituimos en la ecuación
$$r^{3} e^{3 i p} = 216$$
donde
$$r = 6$$
- módulo del número complejo
Sustituyamos r:
$$e^{3 i p} = 1$$
Usando la fórmula de Euler hallemos las raíces para p
$$i \sin{\left(3 p \right)} + \cos{\left(3 p \right)} = 1$$
es decir
$$\cos{\left(3 p \right)} = 1$$
y
$$\sin{\left(3 p \right)} = 0$$
entonces
$$p = \frac{2 \pi N}{3}$$
donde N=0,1,2,3,...
Seleccionando los valores de N y sustituyendo p en la fórmula para z
Es decir, la solución será para z:
$$z_{1} = 6$$
$$z_{2} = -3 - 3 \sqrt{3} i$$
$$z_{3} = -3 + 3 \sqrt{3} i$$
hacemos cambio inverso
$$z = x - 2$$
$$x = z + 2$$

Entonces la respuesta definitiva es:
$$x_{1} = 8$$
$$x_{2} = -1 - 3 \sqrt{3} i$$
$$x_{3} = -1 + 3 \sqrt{3} i$$
Gráfica
Respuesta rápida [src]
x1 = 8
$$x_{1} = 8$$
                ___
x2 = -1 - 3*I*\/ 3 
$$x_{2} = -1 - 3 \sqrt{3} i$$
                ___
x3 = -1 + 3*I*\/ 3 
$$x_{3} = -1 + 3 \sqrt{3} i$$
x3 = -1 + 3*sqrt(3)*i
Suma y producto de raíces [src]
suma
               ___              ___
8 + -1 - 3*I*\/ 3  + -1 + 3*I*\/ 3 
$$\left(8 + \left(-1 - 3 \sqrt{3} i\right)\right) + \left(-1 + 3 \sqrt{3} i\right)$$
=
6
$$6$$
producto
  /           ___\ /           ___\
8*\-1 - 3*I*\/ 3 /*\-1 + 3*I*\/ 3 /
$$8 \left(-1 - 3 \sqrt{3} i\right) \left(-1 + 3 \sqrt{3} i\right)$$
=
224
$$224$$
224
Respuesta numérica [src]
x1 = -1.0 - 5.19615242270663*i
x2 = -1.0 + 5.19615242270663*i
x3 = 8.0
x3 = 8.0