Tenemos la ecuación
$$x + \sqrt{2 x - 1} = 3$$
$$\sqrt{2 x - 1} = 3 - x$$
Elevemos las dos partes de la ecuación a la potencia 2
$$2 x - 1 = \left(3 - x\right)^{2}$$
$$2 x - 1 = x^{2} - 6 x + 9$$
Transpongamos la parte derecha de la ecuación miembro izquierdo de la ecuación con el signo negativo
$$- x^{2} + 8 x - 10 = 0$$
Es la ecuación de la forma
a*x^2 + b*x + c = 0
La ecuación cuadrática puede ser resuelta
con la ayuda del discriminante.
Las raíces de la ecuación cuadrática:
$$x_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$x_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
donde D = b^2 - 4*a*c es el discriminante.
Como
$$a = -1$$
$$b = 8$$
$$c = -10$$
, entonces
D = b^2 - 4 * a * c =
(8)^2 - 4 * (-1) * (-10) = 24
Como D > 0 la ecuación tiene dos raíces.
x1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)
x2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)
o
$$x_{1} = 4 - \sqrt{6}$$
$$x_{2} = \sqrt{6} + 4$$
Como
$$\sqrt{2 x - 1} = 3 - x$$
y
$$\sqrt{2 x - 1} \geq 0$$
entonces
$$3 - x \geq 0$$
o
$$x \leq 3$$
$$-\infty < x$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$x_{1} = 4 - \sqrt{6}$$