Sr Examen

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x^6+64=0 la ecuación

El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉

v

Solución numérica:

Buscar la solución numérica en el intervalo [, ]

Solución

Ha introducido [src]
 6         
x  + 64 = 0
$$x^{6} + 64 = 0$$
Solución detallada
Tenemos la ecuación
$$x^{6} + 64 = 0$$
Ya que la potencia en la ecuación es igual a = 6 y miembro libre = -64 < 0,
significa que la ecuación correspondiente no tiene soluciones reales

Las demás 6 raíces son complejas.
hacemos el cambio:
$$z = x$$
entonces la ecuación será así:
$$z^{6} = -64$$
Cualquier número complejo se puede presentar que:
$$z = r e^{i p}$$
sustituimos en la ecuación
$$r^{6} e^{6 i p} = -64$$
donde
$$r = 2$$
- módulo del número complejo
Sustituyamos r:
$$e^{6 i p} = -1$$
Usando la fórmula de Euler hallemos las raíces para p
$$i \sin{\left(6 p \right)} + \cos{\left(6 p \right)} = -1$$
es decir
$$\cos{\left(6 p \right)} = -1$$
y
$$\sin{\left(6 p \right)} = 0$$
entonces
$$p = \frac{\pi N}{3} + \frac{\pi}{6}$$
donde N=0,1,2,3,...
Seleccionando los valores de N y sustituyendo p en la fórmula para z
Es decir, la solución será para z:
$$z_{1} = - 2 i$$
$$z_{2} = 2 i$$
$$z_{3} = - \sqrt{3} - i$$
$$z_{4} = - \sqrt{3} + i$$
$$z_{5} = \sqrt{3} - i$$
$$z_{6} = \sqrt{3} + i$$
hacemos cambio inverso
$$z = x$$
$$x = z$$

Entonces la respuesta definitiva es:
$$x_{1} = - 2 i$$
$$x_{2} = 2 i$$
$$x_{3} = - \sqrt{3} - i$$
$$x_{4} = - \sqrt{3} + i$$
$$x_{5} = \sqrt{3} - i$$
$$x_{6} = \sqrt{3} + i$$
Respuesta rápida [src]
x1 = -2*I
$$x_{1} = - 2 i$$
x2 = 2*I
$$x_{2} = 2 i$$
            ___
x3 = -I - \/ 3 
$$x_{3} = - \sqrt{3} - i$$
           ___
x4 = I - \/ 3 
$$x_{4} = - \sqrt{3} + i$$
       ___    
x5 = \/ 3  - I
$$x_{5} = \sqrt{3} - i$$
           ___
x6 = I + \/ 3 
$$x_{6} = \sqrt{3} + i$$
x6 = sqrt(3) + i
Suma y producto de raíces [src]
suma
                    ___         ___     ___             ___
-2*I + 2*I + -I - \/ 3  + I - \/ 3  + \/ 3  - I + I + \/ 3 
$$\left(\left(\sqrt{3} - i\right) + \left(\left(\left(- \sqrt{3} - i\right) + \left(- 2 i + 2 i\right)\right) + \left(- \sqrt{3} + i\right)\right)\right) + \left(\sqrt{3} + i\right)$$
=
0
$$0$$
producto
         /       ___\ /      ___\ /  ___    \ /      ___\
-2*I*2*I*\-I - \/ 3 /*\I - \/ 3 /*\\/ 3  - I/*\I + \/ 3 /
$$- 2 i 2 i \left(- \sqrt{3} - i\right) \left(- \sqrt{3} + i\right) \left(\sqrt{3} - i\right) \left(\sqrt{3} + i\right)$$
=
64
$$64$$
64
Respuesta numérica [src]
x1 = -1.73205080756888 + 1.0*i
x2 = 2.0*i
x3 = -1.73205080756888 - 1.0*i
x4 = 1.73205080756888 + 1.0*i
x5 = 1.73205080756888 - 1.0*i
x6 = -2.0*i
x6 = -2.0*i