x^6+64=0 la ecuación

Tenemos la ecuación
$$x^{6} + 64 = 0$$
Ya que la potencia en la ecuación es igual a = 6 y miembro libre = -64 < 0,
significa que la ecuación correspondiente no tiene soluciones reales

Las demás 6 raíces son complejas.
hacemos el cambio:
$$z = x$$
entonces la ecuación será así:
$$z^{6} = -64$$
Cualquier número complejo se puede presentar que:
$$z = r e^{i p}$$
sustituimos en la ecuación
$$r^{6} e^{6 i p} = -64$$
donde
$$r = 2$$
- módulo del número complejo
Sustituyamos r:
$$e^{6 i p} = -1$$
Usando la fórmula de Euler hallemos las raíces para p
$$i \sin{\left(6 p \right)} + \cos{\left(6 p \right)} = -1$$
es decir
$$\cos{\left(6 p \right)} = -1$$
y
$$\sin{\left(6 p \right)} = 0$$
entonces
$$p = \frac{\pi N}{3} + \frac{\pi}{6}$$
donde N=0,1,2,3,...
Seleccionando los valores de N y sustituyendo p en la fórmula para z
Es decir, la solución será para z:
$$z_{1} = - 2 i$$
$$z_{2} = 2 i$$
$$z_{3} = - \sqrt{3} - i$$
$$z_{4} = - \sqrt{3} + i$$
$$z_{5} = \sqrt{3} - i$$
$$z_{6} = \sqrt{3} + i$$
hacemos cambio inverso
$$z = x$$
$$x = z$$

Entonces la respuesta definitiva es:
$$x_{1} = - 2 i$$
$$x_{2} = 2 i$$
$$x_{3} = - \sqrt{3} - i$$
$$x_{4} = - \sqrt{3} + i$$
$$x_{5} = \sqrt{3} - i$$
$$x_{6} = \sqrt{3} + i$$