Sr Examen
Otras calculadoras
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¿Cómo usar?
- La ecuación:
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Ecuación 2*(x+2)*(x+4)=x^2+2*x
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Ecuación 2*(1-3*x)/3+(3*x-3)/2=(x-3)/6-1
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Ecuación (3*x+4)/(x^2-16)=x^2/(x^2-16)
-
Ecuación x^4+3*x^2-10=0
- Expresar {x} en función de y en la ecuación:
- -17*x+9*y=-18
- -19*x-4*y=5
- -8*x-1*y=9
- 4*x+4*y=13
- Derivada de:
-
z^4
- Gráfico de la función y =:
-
z^4
-
Expresiones idénticas
- z^ cuatro = ocho -(8sqrt3*i)
- z en el grado 4 es igual a 8 menos (8 raíz cuadrada de 3 multiplicar por i)
- z en el grado cuatro es igual a ocho menos (8 raíz cuadrada de 3 multiplicar por i)
- z^4=8-(8√3*i)
- z4=8-(8sqrt3*i)
- z4=8-8sqrt3*i
- z⁴=8-(8sqrt3*i)
- z^4=8-(8sqrt3i)
- z4=8-(8sqrt3i)
- z4=8-8sqrt3i
- z^4=8-8sqrt3i
-
Expresiones semejantes
- (z^4)+8-8*sqrt(3)*i=0
- z^4+8-8sqrt(3)i+1=0
- z^4=-8-8*(sqrt(3))*i
- z^4=8+(8sqrt3*i)
- x^4+8-(8*sqrt(3))*i=0
z^4=8-(8sqrt3*i) la ecuación
El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉
Solución
Solución detallada
Tenemos la ecuación
$$z^{4} = 8 - 8 \sqrt{3} i$$
Ya que la potencia en la ecuación es igual a = 4 y miembro libre = 8 - 8*i*sqrt(3) complejo,
significa que la ecuación correspondiente no tiene soluciones reales
Las demás 4 raíces son complejas.
hacemos el cambio:
$$w = z$$
entonces la ecuación será así:
$$w^{4} = 8 - 8 \sqrt{3} i$$
Cualquier número complejo se puede presentar que:
$$w = r e^{i p}$$
sustituimos en la ecuación
$$r^{4} e^{4 i p} = 8 - 8 \sqrt{3} i$$
donde
$$r = 2$$
- módulo del número complejo
Sustituyamos r:
$$e^{4 i p} = \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{2}$$
Usando la fórmula de Euler hallemos las raíces para p
$$i \sin{\left(4 p \right)} + \cos{\left(4 p \right)} = \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{2}$$
es decir
$$\cos{\left(4 p \right)} = \frac{1}{2}$$
y
$$\sin{\left(4 p \right)} = - \frac{\sqrt{3}}{2}$$
entonces
$$p = \frac{\pi N}{2} - \frac{\pi}{12}$$
donde N=0,1,2,3,...
Seleccionando los valores de N y sustituyendo p en la fórmula para w
Es decir, la solución será para w:
$$w_{1} = - \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{6}}{2} + \frac{\sqrt{2} i}{2} + \frac{\sqrt{6} i}{2}$$
$$w_{2} = \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{6}}{2} - \frac{\sqrt{6} i}{2} + \frac{\sqrt{2} i}{2}$$
$$w_{3} = - \frac{\sqrt{6}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2} i}{2} + \frac{\sqrt{6} i}{2}$$
$$w_{4} = - \frac{\sqrt{6}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{6} i}{2} - \frac{\sqrt{2} i}{2}$$
hacemos cambio inverso
$$w = z$$
$$z = w$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$z_{1} = - \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{6}}{2} + \frac{\sqrt{2} i}{2} + \frac{\sqrt{6} i}{2}$$
$$z_{2} = \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{6}}{2} - \frac{\sqrt{6} i}{2} + \frac{\sqrt{2} i}{2}$$
$$z_{3} = - \frac{\sqrt{6}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2} i}{2} + \frac{\sqrt{6} i}{2}$$
$$z_{4} = - \frac{\sqrt{6}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{6} i}{2} - \frac{\sqrt{2} i}{2}$$
$$z^{4} = 8 - 8 \sqrt{3} i$$
Ya que la potencia en la ecuación es igual a = 4 y miembro libre = 8 - 8*i*sqrt(3) complejo,
significa que la ecuación correspondiente no tiene soluciones reales
Las demás 4 raíces son complejas.
hacemos el cambio:
$$w = z$$
entonces la ecuación será así:
$$w^{4} = 8 - 8 \sqrt{3} i$$
Cualquier número complejo se puede presentar que:
$$w = r e^{i p}$$
sustituimos en la ecuación
$$r^{4} e^{4 i p} = 8 - 8 \sqrt{3} i$$
donde
$$r = 2$$
- módulo del número complejo
Sustituyamos r:
$$e^{4 i p} = \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{2}$$
Usando la fórmula de Euler hallemos las raíces para p
$$i \sin{\left(4 p \right)} + \cos{\left(4 p \right)} = \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{2}$$
es decir
$$\cos{\left(4 p \right)} = \frac{1}{2}$$
y
$$\sin{\left(4 p \right)} = - \frac{\sqrt{3}}{2}$$
entonces
$$p = \frac{\pi N}{2} - \frac{\pi}{12}$$
donde N=0,1,2,3,...
Seleccionando los valores de N y sustituyendo p en la fórmula para w
Es decir, la solución será para w:
$$w_{1} = - \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{6}}{2} + \frac{\sqrt{2} i}{2} + \frac{\sqrt{6} i}{2}$$
$$w_{2} = \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{6}}{2} - \frac{\sqrt{6} i}{2} + \frac{\sqrt{2} i}{2}$$
$$w_{3} = - \frac{\sqrt{6}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2} i}{2} + \frac{\sqrt{6} i}{2}$$
$$w_{4} = - \frac{\sqrt{6}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{6} i}{2} - \frac{\sqrt{2} i}{2}$$
hacemos cambio inverso
$$w = z$$
$$z = w$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$z_{1} = - \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{6}}{2} + \frac{\sqrt{2} i}{2} + \frac{\sqrt{6} i}{2}$$
$$z_{2} = \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{6}}{2} - \frac{\sqrt{6} i}{2} + \frac{\sqrt{2} i}{2}$$
$$z_{3} = - \frac{\sqrt{6}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2} i}{2} + \frac{\sqrt{6} i}{2}$$
$$z_{4} = - \frac{\sqrt{6}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{6} i}{2} - \frac{\sqrt{2} i}{2}$$
Gráfica
Suma y producto de raíces
[src]
suma
___ ___ / ___ ___\ ___ ___ / ___ ___\ ___ ___ / ___ ___\ ___ ___ / ___ ___\ \/ 6 \/ 2 |\/ 2 \/ 6 | \/ 2 \/ 6 |\/ 2 \/ 6 | \/ 2 \/ 6 |\/ 6 \/ 2 | \/ 2 \/ 6 | \/ 2 \/ 6 | ----- - ----- + I*|----- + -----| + ----- + ----- + I*|----- - -----| + - ----- - ----- + I*|----- - -----| + ----- - ----- + I*|- ----- - -----| 2 2 \ 2 2 / 2 2 \ 2 2 / 2 2 \ 2 2 / 2 2 \ 2 2 /
$$\left(- \frac{\sqrt{6}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} + i \left(- \frac{\sqrt{6}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}\right)\right) + \left(\left(- \frac{\sqrt{6}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} + i \left(- \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{6}}{2}\right)\right) + \left(\left(\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{6}}{2} + i \left(- \frac{\sqrt{6}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}\right)\right) + \left(- \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{6}}{2} + i \left(\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{6}}{2}\right)\right)\right)\right)$$
=
/ ___ ___\ / ___ ___\ / ___ ___\ / ___ ___\ |\/ 2 \/ 6 | |\/ 2 \/ 6 | |\/ 6 \/ 2 | | \/ 2 \/ 6 | I*|----- + -----| + I*|----- - -----| + I*|----- - -----| + I*|- ----- - -----| \ 2 2 / \ 2 2 / \ 2 2 / \ 2 2 /
$$i \left(- \frac{\sqrt{6}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}\right) + i \left(- \frac{\sqrt{6}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}\right) + i \left(- \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{6}}{2}\right) + i \left(\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{6}}{2}\right)$$
producto
/ ___ ___ / ___ ___\\ / ___ ___ / ___ ___\\ / ___ ___ / ___ ___\\ / ___ ___ / ___ ___\\ |\/ 6 \/ 2 |\/ 2 \/ 6 || |\/ 2 \/ 6 |\/ 2 \/ 6 || | \/ 2 \/ 6 |\/ 6 \/ 2 || |\/ 2 \/ 6 | \/ 2 \/ 6 || |----- - ----- + I*|----- + -----||*|----- + ----- + I*|----- - -----||*|- ----- - ----- + I*|----- - -----||*|----- - ----- + I*|- ----- - -----|| \ 2 2 \ 2 2 // \ 2 2 \ 2 2 // \ 2 2 \ 2 2 // \ 2 2 \ 2 2 //
$$\left(- \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{6}}{2} + i \left(\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{6}}{2}\right)\right) \left(\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{6}}{2} + i \left(- \frac{\sqrt{6}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}\right)\right) \left(- \frac{\sqrt{6}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} + i \left(- \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{6}}{2}\right)\right) \left(- \frac{\sqrt{6}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} + i \left(- \frac{\sqrt{6}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}\right)\right)$$
=
___ -8 + 8*I*\/ 3
$$-8 + 8 \sqrt{3} i$$
-8 + 8*i*sqrt(3)
Respuesta rápida
[src]
___ ___ / ___ ___\
\/ 6 \/ 2 |\/ 2 \/ 6 |
z1 = ----- - ----- + I*|----- + -----|
2 2 \ 2 2 /
$$z_{1} = - \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{6}}{2} + i \left(\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{6}}{2}\right)$$
___ ___ / ___ ___\
\/ 2 \/ 6 |\/ 2 \/ 6 |
z2 = ----- + ----- + I*|----- - -----|
2 2 \ 2 2 /
$$z_{2} = \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{6}}{2} + i \left(- \frac{\sqrt{6}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}\right)$$
___ ___ / ___ ___\
\/ 2 \/ 6 |\/ 6 \/ 2 |
z3 = - ----- - ----- + I*|----- - -----|
2 2 \ 2 2 /
$$z_{3} = - \frac{\sqrt{6}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} + i \left(- \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{6}}{2}\right)$$
___ ___ / ___ ___\
\/ 2 \/ 6 | \/ 2 \/ 6 |
z4 = ----- - ----- + I*|- ----- - -----|
2 2 \ 2 2 /
$$z_{4} = - \frac{\sqrt{6}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} + i \left(- \frac{\sqrt{6}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}\right)$$
z4 = -sqrt(6)/2 + sqrt(2)/2 + i*(-sqrt(6)/2 - sqrt(2)/2)
Respuesta numérica
[src]
z1 = -0.517638090205041 - 1.93185165257814*i
z2 = 0.517638090205041 + 1.93185165257814*i
z3 = 1.93185165257814 - 0.517638090205041*i
z4 = -1.93185165257814 + 0.517638090205041*i
z4 = -1.93185165257814 + 0.517638090205041*i