z^4=-8-8*(sqrt(3))*i la ecuación

Tenemos la ecuación
$$z^{4} = -8 - 8 \sqrt{3} i$$
Ya que la potencia en la ecuación es igual a = 4 y miembro libre = -8 - 8*i*sqrt(3) complejo,
significa que la ecuación correspondiente no tiene soluciones reales

Las demás 4 raíces son complejas.
hacemos el cambio:
$$w = z$$
entonces la ecuación será así:
$$w^{4} = -8 - 8 \sqrt{3} i$$
Cualquier número complejo se puede presentar que:
$$w = r e^{i p}$$
sustituimos en la ecuación
$$r^{4} e^{4 i p} = -8 - 8 \sqrt{3} i$$
donde
$$r = 2$$
- módulo del número complejo
Sustituyamos r:
$$e^{4 i p} = - \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{2}$$
Usando la fórmula de Euler hallemos las raíces para p
$$i \sin{\left(4 p \right)} + \cos{\left(4 p \right)} = - \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{2}$$
es decir
$$\cos{\left(4 p \right)} = - \frac{1}{2}$$
y
$$\sin{\left(4 p \right)} = - \frac{\sqrt{3}}{2}$$
entonces
$$p = \frac{\pi N}{2} + \frac{\pi}{12}$$
donde N=0,1,2,3,...
Seleccionando los valores de N y sustituyendo p en la fórmula para w
Es decir, la solución será para w:
$$w_{1} = -1 - \sqrt{3} i$$
$$w_{2} = 1 + \sqrt{3} i$$
$$w_{3} = - \sqrt{3} + i$$
$$w_{4} = \sqrt{3} - i$$
hacemos cambio inverso
$$w = z$$
$$z = w$$

Entonces la respuesta definitiva es:
$$z_{1} = -1 - \sqrt{3} i$$
$$z_{2} = 1 + \sqrt{3} i$$
$$z_{3} = - \sqrt{3} + i$$
$$z_{4} = \sqrt{3} - i$$