z^4-81=0 la ecuación

Tenemos la ecuación
$$z^{4} - 81 = 0$$
Ya que la potencia en la ecuación es igual a = 4 - contiene un número par 4 en el numerador, entonces
la ecuación tendrá dos raíces reales.
Extraigamos la raíz de potencia 4 de las dos partes de la ecuación:
Obtenemos:
$$\sqrt[4]{z^{4}} = \sqrt[4]{81}$$
$$\sqrt[4]{z^{4}} = \left(-1\right) \sqrt[4]{81}$$
o
$$z = 3$$
$$z = -3$$
Obtenemos la respuesta: z = 3
Obtenemos la respuesta: z = -3
o
$$z_{1} = -3$$
$$z_{2} = 3$$

Las demás 2 raíces son complejas.
hacemos el cambio:
$$w = z$$
entonces la ecuación será así:
$$w^{4} = 81$$
Cualquier número complejo se puede presentar que:
$$w = r e^{i p}$$
sustituimos en la ecuación
$$r^{4} e^{4 i p} = 81$$
donde
$$r = 3$$
- módulo del número complejo
Sustituyamos r:
$$e^{4 i p} = 1$$
Usando la fórmula de Euler hallemos las raíces para p
$$i \sin{\left(4 p \right)} + \cos{\left(4 p \right)} = 1$$
es decir
$$\cos{\left(4 p \right)} = 1$$
y
$$\sin{\left(4 p \right)} = 0$$
entonces
$$p = \frac{\pi N}{2}$$
donde N=0,1,2,3,...
Seleccionando los valores de N y sustituyendo p en la fórmula para w
Es decir, la solución será para w:
$$w_{1} = -3$$
$$w_{2} = 3$$
$$w_{3} = - 3 i$$
$$w_{4} = 3 i$$
hacemos cambio inverso
$$w = z$$
$$z = w$$

Entonces la respuesta definitiva es:
$$z_{1} = -3$$
$$z_{2} = 3$$
$$z_{3} = - 3 i$$
$$z_{4} = 3 i$$