5*4/25^x+23*2/5^x-10=0 la ecuación

Tenemos la ecuación:
$$\left(23 \left(\frac{2}{5}\right)^{x} + 5 \left(\frac{4}{25}\right)^{x}\right) - 10 = 0$$
o
$$\left(23 \left(\frac{2}{5}\right)^{x} + 5 \left(\frac{4}{25}\right)^{x}\right) - 10 = 0$$
Sustituimos
$$v = \left(\frac{2}{5}\right)^{x}$$
obtendremos
$$5 v^{2} + 23 v - 10 = 0$$
o
$$5 v^{2} + 23 v - 10 = 0$$
Es la ecuación de la forma

a*v^2 + b*v + c = 0

La ecuación cuadrática puede ser resuelta
con la ayuda del discriminante.
Las raíces de la ecuación cuadrática:
$$v_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$v_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
donde D = b^2 - 4*a*c es el discriminante.
Como
$$a = 5$$
$$b = 23$$
$$c = -10$$
, entonces

D = b^2 - 4 * a * c = 

(23)^2 - 4 * (5) * (-10) = 729

Como D > 0 la ecuación tiene dos raíces.

v1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

v2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

o
$$v_{1} = \frac{2}{5}$$
$$v_{2} = -5$$
hacemos cambio inverso
$$\left(\frac{2}{5}\right)^{x} = v$$
o
$$x = \frac{\log{\left(v \right)}}{\log{\left(\frac{2}{5} \right)}}$$
Entonces la respuesta definitiva es
$$x_{1} = \frac{\log{\left(\frac{2}{5} \right)}}{\log{\left(\frac{2}{5} \right)}} = 1$$
$$x_{2} = \frac{\log{\left(-5 \right)}}{\log{\left(\frac{2}{5} \right)}} = \frac{\log{\left(5 \right)} + i \pi}{\log{\left(\frac{2}{5} \right)}}$$