Sr Examen
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¿Cómo usar?
- La ecuación:
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Ecuación 8*x-3*(2*x+1)=2*x+4
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Ecuación x^3=27
-
Ecuación 1+sin(x)=0
-
Ecuación 2*x^2+6*x+9=
- Expresar {x} en función de y en la ecuación:
- 20*x+6*y=8
- -11*x-15*y=14
- -11*x+10*y=-9
- 6*x-2*y=20
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Expresiones idénticas
- 35x^ dos *2x- uno = cero
- 35x al cuadrado multiplicar por 2x menos 1 es igual a 0
- 35x en el grado dos multiplicar por 2x menos uno es igual a cero
- 35x2*2x-1=0
- 35x²*2x-1=0
- 35x en el grado 2*2x-1=0
- 35x^22x-1=0
- 35x22x-1=0
- 35x^2*2x-1=O
-
Expresiones semejantes
- 35x^2*2x+1=0
35x^2*2x-1=0 la ecuación
El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉
Solución
Solución detallada
Tenemos la ecuación
$$x 2 \cdot 35 x^{2} - 1 = 0$$
Ya que la potencia en la ecuación es igual a = 3 - no contiene número par en el numerador, entonces
la ecuación tendrá una raíz real.
Extraigamos la raíz de potencia 3 de las dos partes de la ecuación:
Obtenemos:
$$\sqrt[3]{70} \sqrt[3]{x^{3}} = \sqrt[3]{1}$$
o
$$\sqrt[3]{70} x = 1$$
Abrimos los paréntesis en el miembro izquierdo de la ecuación
Dividamos ambos miembros de la ecuación en 70^(1/3)
Obtenemos la respuesta: x = 70^(2/3)/70
Las demás 2 raíces son complejas.
hacemos el cambio:
$$z = x$$
entonces la ecuación será así:
$$z^{3} = \frac{1}{70}$$
Cualquier número complejo se puede presentar que:
$$z = r e^{i p}$$
sustituimos en la ecuación
$$r^{3} e^{3 i p} = \frac{1}{70}$$
donde
$$r = \frac{70^{\frac{2}{3}}}{70}$$
- módulo del número complejo
Sustituyamos r:
$$e^{3 i p} = 1$$
Usando la fórmula de Euler hallemos las raíces para p
$$i \sin{\left(3 p \right)} + \cos{\left(3 p \right)} = 1$$
es decir
$$\cos{\left(3 p \right)} = 1$$
y
$$\sin{\left(3 p \right)} = 0$$
entonces
$$p = \frac{2 \pi N}{3}$$
donde N=0,1,2,3,...
Seleccionando los valores de N y sustituyendo p en la fórmula para z
Es decir, la solución será para z:
$$z_{1} = \frac{70^{\frac{2}{3}}}{70}$$
$$z_{2} = - \frac{70^{\frac{2}{3}}}{140} - \frac{\sqrt{3} \cdot 70^{\frac{2}{3}} i}{140}$$
$$z_{3} = - \frac{70^{\frac{2}{3}}}{140} + \frac{\sqrt{3} \cdot 70^{\frac{2}{3}} i}{140}$$
hacemos cambio inverso
$$z = x$$
$$x = z$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$x_{1} = \frac{70^{\frac{2}{3}}}{70}$$
$$x_{2} = - \frac{70^{\frac{2}{3}}}{140} - \frac{\sqrt{3} \cdot 70^{\frac{2}{3}} i}{140}$$
$$x_{3} = - \frac{70^{\frac{2}{3}}}{140} + \frac{\sqrt{3} \cdot 70^{\frac{2}{3}} i}{140}$$
$$x 2 \cdot 35 x^{2} - 1 = 0$$
Ya que la potencia en la ecuación es igual a = 3 - no contiene número par en el numerador, entonces
la ecuación tendrá una raíz real.
Extraigamos la raíz de potencia 3 de las dos partes de la ecuación:
Obtenemos:
$$\sqrt[3]{70} \sqrt[3]{x^{3}} = \sqrt[3]{1}$$
o
$$\sqrt[3]{70} x = 1$$
Abrimos los paréntesis en el miembro izquierdo de la ecuación
x*70^1/3 = 1
Dividamos ambos miembros de la ecuación en 70^(1/3)
x = 1 / (70^(1/3))
Obtenemos la respuesta: x = 70^(2/3)/70
Las demás 2 raíces son complejas.
hacemos el cambio:
$$z = x$$
entonces la ecuación será así:
$$z^{3} = \frac{1}{70}$$
Cualquier número complejo se puede presentar que:
$$z = r e^{i p}$$
sustituimos en la ecuación
$$r^{3} e^{3 i p} = \frac{1}{70}$$
donde
$$r = \frac{70^{\frac{2}{3}}}{70}$$
- módulo del número complejo
Sustituyamos r:
$$e^{3 i p} = 1$$
Usando la fórmula de Euler hallemos las raíces para p
$$i \sin{\left(3 p \right)} + \cos{\left(3 p \right)} = 1$$
es decir
$$\cos{\left(3 p \right)} = 1$$
y
$$\sin{\left(3 p \right)} = 0$$
entonces
$$p = \frac{2 \pi N}{3}$$
donde N=0,1,2,3,...
Seleccionando los valores de N y sustituyendo p en la fórmula para z
Es decir, la solución será para z:
$$z_{1} = \frac{70^{\frac{2}{3}}}{70}$$
$$z_{2} = - \frac{70^{\frac{2}{3}}}{140} - \frac{\sqrt{3} \cdot 70^{\frac{2}{3}} i}{140}$$
$$z_{3} = - \frac{70^{\frac{2}{3}}}{140} + \frac{\sqrt{3} \cdot 70^{\frac{2}{3}} i}{140}$$
hacemos cambio inverso
$$z = x$$
$$x = z$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$x_{1} = \frac{70^{\frac{2}{3}}}{70}$$
$$x_{2} = - \frac{70^{\frac{2}{3}}}{140} - \frac{\sqrt{3} \cdot 70^{\frac{2}{3}} i}{140}$$
$$x_{3} = - \frac{70^{\frac{2}{3}}}{140} + \frac{\sqrt{3} \cdot 70^{\frac{2}{3}} i}{140}$$
Teorema de Cardano-Vieta
reescribamos la ecuación
$$x 2 \cdot 35 x^{2} - 1 = 0$$
de
$$a x^{3} + b x^{2} + c x + d = 0$$
como ecuación cúbica reducida
$$x^{3} + \frac{b x^{2}}{a} + \frac{c x}{a} + \frac{d}{a} = 0$$
$$x^{3} - \frac{1}{70} = 0$$
$$p x^{2} + q x + v + x^{3} = 0$$
donde
$$p = \frac{b}{a}$$
$$p = 0$$
$$q = \frac{c}{a}$$
$$q = 0$$
$$v = \frac{d}{a}$$
$$v = - \frac{1}{70}$$
Fórmulas de Cardano-Vieta
$$x_{1} + x_{2} + x_{3} = - p$$
$$x_{1} x_{2} + x_{1} x_{3} + x_{2} x_{3} = q$$
$$x_{1} x_{2} x_{3} = v$$
$$x_{1} + x_{2} + x_{3} = 0$$
$$x_{1} x_{2} + x_{1} x_{3} + x_{2} x_{3} = 0$$
$$x_{1} x_{2} x_{3} = - \frac{1}{70}$$
$$x 2 \cdot 35 x^{2} - 1 = 0$$
de
$$a x^{3} + b x^{2} + c x + d = 0$$
como ecuación cúbica reducida
$$x^{3} + \frac{b x^{2}}{a} + \frac{c x}{a} + \frac{d}{a} = 0$$
$$x^{3} - \frac{1}{70} = 0$$
$$p x^{2} + q x + v + x^{3} = 0$$
donde
$$p = \frac{b}{a}$$
$$p = 0$$
$$q = \frac{c}{a}$$
$$q = 0$$
$$v = \frac{d}{a}$$
$$v = - \frac{1}{70}$$
Fórmulas de Cardano-Vieta
$$x_{1} + x_{2} + x_{3} = - p$$
$$x_{1} x_{2} + x_{1} x_{3} + x_{2} x_{3} = q$$
$$x_{1} x_{2} x_{3} = v$$
$$x_{1} + x_{2} + x_{3} = 0$$
$$x_{1} x_{2} + x_{1} x_{3} + x_{2} x_{3} = 0$$
$$x_{1} x_{2} x_{3} = - \frac{1}{70}$$
Respuesta rápida
[src]
2/3
70
x1 = -----
70
$$x_{1} = \frac{70^{\frac{2}{3}}}{70}$$
2/3 ___ 2/3
70 I*\/ 3 *70
x2 = - ----- - -------------
140 140
$$x_{2} = - \frac{70^{\frac{2}{3}}}{140} - \frac{\sqrt{3} \cdot 70^{\frac{2}{3}} i}{140}$$
2/3 ___ 2/3
70 I*\/ 3 *70
x3 = - ----- + -------------
140 140
$$x_{3} = - \frac{70^{\frac{2}{3}}}{140} + \frac{\sqrt{3} \cdot 70^{\frac{2}{3}} i}{140}$$
x3 = -70^(2/3)/140 + sqrt(3)*70^(2/3)*i/140
Suma y producto de raíces
[src]
suma
2/3 2/3 ___ 2/3 2/3 ___ 2/3 70 70 I*\/ 3 *70 70 I*\/ 3 *70 ----- + - ----- - ------------- + - ----- + ------------- 70 140 140 140 140
$$\left(\frac{70^{\frac{2}{3}}}{70} + \left(- \frac{70^{\frac{2}{3}}}{140} - \frac{\sqrt{3} \cdot 70^{\frac{2}{3}} i}{140}\right)\right) + \left(- \frac{70^{\frac{2}{3}}}{140} + \frac{\sqrt{3} \cdot 70^{\frac{2}{3}} i}{140}\right)$$
=
0
$$0$$
producto
2/3 / 2/3 ___ 2/3\ / 2/3 ___ 2/3\ 70 | 70 I*\/ 3 *70 | | 70 I*\/ 3 *70 | -----*|- ----- - -------------|*|- ----- + -------------| 70 \ 140 140 / \ 140 140 /
$$\frac{70^{\frac{2}{3}}}{70} \left(- \frac{70^{\frac{2}{3}}}{140} - \frac{\sqrt{3} \cdot 70^{\frac{2}{3}} i}{140}\right) \left(- \frac{70^{\frac{2}{3}}}{140} + \frac{\sqrt{3} \cdot 70^{\frac{2}{3}} i}{140}\right)$$
=
1/70
$$\frac{1}{70}$$
1/70
Respuesta numérica
[src]
x1 = 0.242642750320259
x2 = -0.121321375160129 + 0.210134785821469*i
x3 = -0.121321375160129 - 0.210134785821469*i
x3 = -0.121321375160129 - 0.210134785821469*i