Sr Examen
Otras calculadoras
-
¿Cómo usar?
- La ecuación:
- Ecuación z^3+8i=0
- Ecuación (2+14x)/2=(8x-10)/3
- Ecuación 2x^2-4x-1=0
-
Ecuación 3x²-27=0
- Expresar {x} en función de y en la ecuación:
- -5*x-2*y=-14
- 14*x+16*y=-3
- -20*x+18*y=-11
- 15*x-14*y=19
-
Expresiones idénticas
- z^ tres +8i= cero
- z al cubo más 8i es igual a 0
- z en el grado tres más 8i es igual a cero
- z3+8i=0
- z³+8i=0
- z en el grado 3+8i=0
- z^3+8i=O
-
Expresiones semejantes
- z^3-8i=0
z^3+8i=0 la ecuación
El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉
Solución
Solución detallada
Tenemos la ecuación
$$z^{3} + 8 i = 0$$
Ya que la potencia en la ecuación es igual a = 3 - no contiene número par en el numerador, entonces
la ecuación tendrá una raíz real.
Extraigamos la raíz de potencia 3 de las dos partes de la ecuación:
Obtenemos:
$$\sqrt[3]{z^{3}} = \sqrt[3]{- 8 i}$$
o
$$z = 2 \sqrt[3]{- i}$$
Abrimos los paréntesis en el miembro derecho de la ecuación
Obtenemos la respuesta: z = 2*(-i)^(1/3)
Las demás 3 raíces son complejas.
hacemos el cambio:
$$w = z$$
entonces la ecuación será así:
$$w^{3} = - 8 i$$
Cualquier número complejo se puede presentar que:
$$w = r e^{i p}$$
sustituimos en la ecuación
$$r^{3} e^{3 i p} = - 8 i$$
donde
$$r = 2$$
- módulo del número complejo
Sustituyamos r:
$$e^{3 i p} = - i$$
Usando la fórmula de Euler hallemos las raíces para p
$$i \sin{\left(3 p \right)} + \cos{\left(3 p \right)} = - i$$
es decir
$$\cos{\left(3 p \right)} = 0$$
y
$$\sin{\left(3 p \right)} = -1$$
entonces
$$p = \frac{2 \pi N}{3} - \frac{\pi}{6}$$
donde N=0,1,2,3,...
Seleccionando los valores de N y sustituyendo p en la fórmula para w
Es decir, la solución será para w:
$$w_{1} = 2 i$$
$$w_{2} = - \sqrt{3} - i$$
$$w_{3} = \sqrt{3} - i$$
hacemos cambio inverso
$$w = z$$
$$z = w$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$z_{1} = 2 i$$
$$z_{2} = - \sqrt{3} - i$$
$$z_{3} = \sqrt{3} - i$$
$$z^{3} + 8 i = 0$$
Ya que la potencia en la ecuación es igual a = 3 - no contiene número par en el numerador, entonces
la ecuación tendrá una raíz real.
Extraigamos la raíz de potencia 3 de las dos partes de la ecuación:
Obtenemos:
$$\sqrt[3]{z^{3}} = \sqrt[3]{- 8 i}$$
o
$$z = 2 \sqrt[3]{- i}$$
Abrimos los paréntesis en el miembro derecho de la ecuación
z = -2*i^1/3
Obtenemos la respuesta: z = 2*(-i)^(1/3)
Las demás 3 raíces son complejas.
hacemos el cambio:
$$w = z$$
entonces la ecuación será así:
$$w^{3} = - 8 i$$
Cualquier número complejo se puede presentar que:
$$w = r e^{i p}$$
sustituimos en la ecuación
$$r^{3} e^{3 i p} = - 8 i$$
donde
$$r = 2$$
- módulo del número complejo
Sustituyamos r:
$$e^{3 i p} = - i$$
Usando la fórmula de Euler hallemos las raíces para p
$$i \sin{\left(3 p \right)} + \cos{\left(3 p \right)} = - i$$
es decir
$$\cos{\left(3 p \right)} = 0$$
y
$$\sin{\left(3 p \right)} = -1$$
entonces
$$p = \frac{2 \pi N}{3} - \frac{\pi}{6}$$
donde N=0,1,2,3,...
Seleccionando los valores de N y sustituyendo p en la fórmula para w
Es decir, la solución será para w:
$$w_{1} = 2 i$$
$$w_{2} = - \sqrt{3} - i$$
$$w_{3} = \sqrt{3} - i$$
hacemos cambio inverso
$$w = z$$
$$z = w$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$z_{1} = 2 i$$
$$z_{2} = - \sqrt{3} - i$$
$$z_{3} = \sqrt{3} - i$$
Teorema de Cardano-Vieta
es ecuación cúbica reducida
$$p z^{2} + q z + v + z^{3} = 0$$
donde
$$p = \frac{b}{a}$$
$$p = 0$$
$$q = \frac{c}{a}$$
$$q = 0$$
$$v = \frac{d}{a}$$
$$v = 8 i$$
Fórmulas de Cardano-Vieta
$$z_{1} + z_{2} + z_{3} = - p$$
$$z_{1} z_{2} + z_{1} z_{3} + z_{2} z_{3} = q$$
$$z_{1} z_{2} z_{3} = v$$
$$z_{1} + z_{2} + z_{3} = 0$$
$$z_{1} z_{2} + z_{1} z_{3} + z_{2} z_{3} = 0$$
$$z_{1} z_{2} z_{3} = 8 i$$
$$p z^{2} + q z + v + z^{3} = 0$$
donde
$$p = \frac{b}{a}$$
$$p = 0$$
$$q = \frac{c}{a}$$
$$q = 0$$
$$v = \frac{d}{a}$$
$$v = 8 i$$
Fórmulas de Cardano-Vieta
$$z_{1} + z_{2} + z_{3} = - p$$
$$z_{1} z_{2} + z_{1} z_{3} + z_{2} z_{3} = q$$
$$z_{1} z_{2} z_{3} = v$$
$$z_{1} + z_{2} + z_{3} = 0$$
$$z_{1} z_{2} + z_{1} z_{3} + z_{2} z_{3} = 0$$
$$z_{1} z_{2} z_{3} = 8 i$$
Gráfica
Respuesta rápida
[src]
z1 = 2*I
$$z_{1} = 2 i$$
___ z2 = -I - \/ 3
$$z_{2} = - \sqrt{3} - i$$
___ z3 = \/ 3 - I
$$z_{3} = \sqrt{3} - i$$
z3 = sqrt(3) - i
Suma y producto de raíces
[src]
suma
___ ___ 2*I + -I - \/ 3 + \/ 3 - I
$$\left(\sqrt{3} - i\right) + \left(\left(- \sqrt{3} - i\right) + 2 i\right)$$
=
0
$$0$$
producto
/ ___\ / ___ \ 2*I*\-I - \/ 3 /*\\/ 3 - I/
$$2 i \left(- \sqrt{3} - i\right) \left(\sqrt{3} - i\right)$$
=
-8*I
$$- 8 i$$
-8*i
Respuesta numérica
[src]
z1 = -1.73205080756888 - 1.0*i
z2 = 1.73205080756888 - 1.0*i
z3 = 2.0*i
z3 = 2.0*i