z^4+16=0 la ecuación
El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉
Solución
Solución detallada
Tenemos la ecuación
$$z^{4} + 16 = 0$$
Ya que la potencia en la ecuación es igual a = 4 y miembro libre = -16 < 0,
significa que la ecuación correspondiente no tiene soluciones reales
Las demás 4 raíces son complejas.
hacemos el cambio:
$$w = z$$
entonces la ecuación será así:
$$w^{4} = -16$$
Cualquier número complejo se puede presentar que:
$$w = r e^{i p}$$
sustituimos en la ecuación
$$r^{4} e^{4 i p} = -16$$
donde
$$r = 2$$
- módulo del número complejo
Sustituyamos r:
$$e^{4 i p} = -1$$
Usando la fórmula de Euler hallemos las raíces para p
$$i \sin{\left(4 p \right)} + \cos{\left(4 p \right)} = -1$$
es decir
$$\cos{\left(4 p \right)} = -1$$
y
$$\sin{\left(4 p \right)} = 0$$
entonces
$$p = \frac{\pi N}{2} + \frac{\pi}{4}$$
donde N=0,1,2,3,...
Seleccionando los valores de N y sustituyendo p en la fórmula para w
Es decir, la solución será para w:
$$w_{1} = - \sqrt{2} - \sqrt{2} i$$
$$w_{2} = - \sqrt{2} + \sqrt{2} i$$
$$w_{3} = \sqrt{2} - \sqrt{2} i$$
$$w_{4} = \sqrt{2} + \sqrt{2} i$$
hacemos cambio inverso
$$w = z$$
$$z = w$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$z_{1} = - \sqrt{2} - \sqrt{2} i$$
$$z_{2} = - \sqrt{2} + \sqrt{2} i$$
$$z_{3} = \sqrt{2} - \sqrt{2} i$$
$$z_{4} = \sqrt{2} + \sqrt{2} i$$
___ ___
z1 = - \/ 2 - I*\/ 2
$$z_{1} = - \sqrt{2} - \sqrt{2} i$$
___ ___
z2 = - \/ 2 + I*\/ 2
$$z_{2} = - \sqrt{2} + \sqrt{2} i$$
___ ___
z3 = \/ 2 - I*\/ 2
$$z_{3} = \sqrt{2} - \sqrt{2} i$$
___ ___
z4 = \/ 2 + I*\/ 2
$$z_{4} = \sqrt{2} + \sqrt{2} i$$
Suma y producto de raíces
[src]
___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___
- \/ 2 - I*\/ 2 + - \/ 2 + I*\/ 2 + \/ 2 - I*\/ 2 + \/ 2 + I*\/ 2
$$\left(\left(\sqrt{2} - \sqrt{2} i\right) + \left(\left(- \sqrt{2} - \sqrt{2} i\right) + \left(- \sqrt{2} + \sqrt{2} i\right)\right)\right) + \left(\sqrt{2} + \sqrt{2} i\right)$$
$$0$$
/ ___ ___\ / ___ ___\ / ___ ___\ / ___ ___\
\- \/ 2 - I*\/ 2 /*\- \/ 2 + I*\/ 2 /*\\/ 2 - I*\/ 2 /*\\/ 2 + I*\/ 2 /
$$\left(- \sqrt{2} - \sqrt{2} i\right) \left(- \sqrt{2} + \sqrt{2} i\right) \left(\sqrt{2} - \sqrt{2} i\right) \left(\sqrt{2} + \sqrt{2} i\right)$$
$$16$$
z1 = 1.4142135623731 - 1.4142135623731*i
z2 = -1.4142135623731 + 1.4142135623731*i
z3 = -1.4142135623731 - 1.4142135623731*i
z4 = 1.4142135623731 + 1.4142135623731*i
z4 = 1.4142135623731 + 1.4142135623731*i